完全数

完全数是 正整数 使得

(1)

其中 是 限制除数函数 (即，和 真因数 的总和)，或等价地

(2)

其中 是 除数函数 (即，和 因数 的总和，包括 本身)。 例如，前几个完全数是 6, 28, 496, 8128, ... (OEIS A000396)，因为

			(3)
			(4)
			(5)

等等。

第 个完全数在 Wolfram 语言 中实现为PerfectNumber[n]，并检查 是否为完全数，如同PerfectNumberQ[k]。

前几个完全数 总结在下表中，以及它们对应的索引 (见下文)。

1	2	6
2	3	28
3	5	496
4	7	8128
5	13	33550336
6	17	8589869056
7	19	137438691328
8	31	2305843008139952128

完全数被古代人认为具有重要的命理学性质，并被包括欧几里得在内的希腊人广泛研究。

完全数也与一类称为 梅森素数 的数密切相关，梅森素数是形如 的素数。 这可以通过考虑一个形如 的完全数 来证明，其中 是 素数。 根据完全数 的定义，

(6)

现在请注意，除数函数 有特殊形式

(7)

对于素数 ，以及

(8)

对于 。 将这些与附加恒等式结合

(9)

其中 是 的 素数分解，得出

			(10)
			(11)
			(12)

但是 ，所以

(13)

求解 则得到

(14)

因此，如果 要成为完全数， 必须是 的形式。 将 定义为形如 的素数，则得出

(15)

是一个完全数，正如欧几里得《几何原本》命题 IX.36 中所述 (Dickson 2005, p. 3; Dunham 1990)。

虽然欧几里得的许多后继者隐含地认为所有完全数都具有形式 (15) (Dickson 2005, pp. 3-33)，但所有偶完全数都具有这种形式的精确陈述最早在 1638 年笛卡尔写给梅森的信中被考虑 (Dickson 2005, p. 12)。 弗朗斯·范·斯霍滕在 1658 年写给费马的信中提出了证明或反驳欧几里得的构造给出了所有可能的偶完全数 (Dickson 2005, p. 14)。 在 1849 年的遗作中，欧拉提供了第一个证明，证明欧几里得的构造给出了所有可能的偶完全数 (Dickson 2005, p. 19)。

是否奇完全数存在尚不清楚，尽管已检查了高达 的数字 (Ochem 和 Rao 2012)，但没有成功。

所有 偶 完全数 都 具有形式

(16)

其中 是一个 三角形数

(17)

使得 (Eaton 1995, 1996)。 此外，所有偶完全数都是 六边形数，因此可以得出结论，偶完全数始终是以 1 开头的连续 正整数 的总和，例如，

			(18)
			(19)
			(20)

(Singh 1997)，其中 3, 7, 31, ... (OEIS A000668) 只是 梅森素数。 此外，每个偶完全数 都 具有形式 ，因此可以使用以下恒等式生成它们

(21)

众所周知，所有 偶 完全数（除了 6）都以 16、28、36、56、76 或 96 结尾 (Lucas 1891)，并且 数字根 为 1。 特别是，前几个完全数的最后一位数字是 6、8、6、8、6、6、8、8、6、6、8、8、6、8、8、... (OEIS A094540)，截至 2004 年 6 月，第 38 项和第 41 项之间的区域尚未完全搜索。

完全数的所有除数的倒数之和为 2，因为

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(23)

(24)

如果 ，则称 为 盈数。 如果 ，则称 为 亏数。 并且如果对于 正整数 ，，则称 为阶数为 的 多完全数。

唯一 具有形式 的偶完全数是 28 (Makowski 1962)。

Ruiz 已经证明 是一个完全数，当且仅当

(25)