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除数积

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类似于 除数函数 sigma_1(n)，令

pi(n)=product_(d|n)d
(1)

表示 d 的除数 n （包括 n 本身）的乘积。对于 n=1, 2, ..., 前几个值是 1, 2, 3, 8, 5, 36, 7, 64, 27, 100, 11, 1728, 13, 196, ... (OEIS A007955)。

除数积满足以下恒等式

pi(n)=n^(sigma_0(n)/2).
(2)

下表给出了 n 的值，对于这些值，pi(n) 是一个 P 次幂。Lionnet (1879) 考虑了 P=2 的情况。

POEISn
2A0489431, 6, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 26, ...
3A0489441, 4, 8, 9, 12, 18, 20, 25, 27, 28, 32, ...
4A0489451, 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, ...
5A0489461, 16, 32, 48, 80, 81, 112, 144, 162, ...

写出一个数 n 的素因数分解，

n=p_1^(a_1)p_2^(a_2)...p_r^(a_r).
(3)

那么，p_i 在 pi(n) 中出现的幂是

1/2a_i(a_1+1)(a_2+1)...(a_r+1)
(4)

(Kaplansky 1999)。这使得可以确定 pi(n) 何时是 n 的幂的规则，正如 Halcke (1719) 和 Lionnet (1879) 所考虑的那样。设 p、q 和 r 是不同的素数，那么下表给出了 n 的条件和前几个 pi(n)，对于这些 pi(n)，pi(n) 是 n 的给定幂 P (Ireland and Rosen 1990, Kaplansky 1999, Dickson 2005)。三次幂的情况对应于恰好有六个除数的数，四次幂的情况对应于有八个除数的数，依此类推。

P形式Sloanen
2p^3, pqA0074226, 8, 10, 14, 15, 21, 22, ...
3p^5, p^2qA03051512, 18, 20, 28, 32, 44, ...
4p^7, p^3q, pqrA03062624, 30, 40, 42, 54, 56, ...
5p^9, p^4qA03062848, 80, 112, 162, 176, ...

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参考文献

Dickson, L. E. 数论史，卷 1：可除性和素性。 New York: Dover, p. 58, 2005.Halcke, P. Exs. 150-152 in Deliciae Mathematicae; oder, Mathematisches sinnen-confect. Hamburg, Germany: N. Sauer, p. 197, 1719.Ireland, K. and Rosen, M. 现代数论经典导引，第二版。 New York: Springer-Verlag, p. 19, 1990.Kaplansky, I. "狄克逊《数论史》的前两章。" Unpublished manuscript, Apr. 1999.Lionnet, E. "关于完全数的注释。" Nouv. Ann. Math. 18, 306-308, 1879.Lucas, E. Ex. 6 in 数论。 Paris: Gauthier-Villars, p. 373, 1891.Sloane, N. J. A. 序列 A000040/M0652, A007422/M4068, A007955, A030515, A030626, A030628, A048943, A048944, A048945, and A048946 在 “整数序列在线百科全书” 中。Smarandache, F. 只有问题，没有答案！，第四版。 Phoenix, AZ: Xiquan, 1993.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

除数积

请引用为

Eric W. Weisstein。“除数积”。来自 MathWorld——Wolfram Web Resource。https://mathworld.net.cn/DivisorProduct.html

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