主题
Search

狄利克雷除数问题

设 除数函数 d(n) 为 除数 的个数 n （包括 n 本身）。对于素数 p, d(p)=2。一般来说，

sum_(k=1)^nd(k)=nlnn+(2gamma-1)n+O(n^theta),

其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数。狄利克雷最初给出 theta approx 1/2 (Hardy and Wright 1979, p. 264; Hardy 1999, pp. 67-68), 而 Hardy 和 Landau 在 1916 年证明 theta>=1/4 (Hardy 1999, p. 81)。下表总结了上限的逐步改进 (更新 Hardy 1999, p. 81)。

theta约值引用
1/20.50000狄利克雷
1/30.33333沃罗诺伊 (1903), 谢尔宾斯基 (1906), 范德科皮特 (1923)
37/1120.33036利特尔伍德和瓦尔菲什 (1925)
33/1000.33000范德科皮特 (1922)
27/820.32927范德科皮特 (1928)
15/460.32609
12/370.32432陈 (1963), 科列斯尼克 (1969)
35/1080.32407科列斯尼克 (1982)
139/4290.32401科列斯尼克
17/530.32075维诺格拉多夫 (1935)
7/220.31818伊万涅茨和莫佐奇 (1988)
23/730.31507赫胥黎 (1993)
131/4160.31490赫胥黎 (2003)

另请参阅

除数函数, 高斯圆问题

使用 探索

参考文献

Bohr, H. and Cramér, H. "Ellipsoidprobleme." In "Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie." Ch. IIC88 in 数学百科全书, Vol. 2, Part 3, Issue 2 II C 8, 823-824, 1922.Chen, J.-R. "The Lattice-Points in a Circle." 中国科学 12, 633-649, 1963.Graham, S. W. and Kolesnik, G. 范德科皮特指数和方法. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1991.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和工作启示的十二讲座，第三版. New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. 数论导论，第五版. Oxford, England: Clarendon Press, 1979.Huxley, M. N. "Exponential Sums and Lattice Points." 伦敦数学学会会刊 60, 471-502, 1990.Huxley, M. N. "Corrigenda: 'Exponential Sums and Lattice Points.' " 伦敦数学学会会刊 66, 70, 1993.Huxley, M. N. "Exponential Sums and Lattice Points. II." 伦敦数学学会会刊 66, 279-301, 1993.Huxley, M. N. "Exponential Sums and Lattice Points III." 伦敦数学学会会刊 87, 5910-609, 2003.Iwaniec, H. and Mozzochi, C. J. "On the Divisor and Circle Problem." 数论杂志 29, 60-93, 1988.Kolesnik, G. A. "An Improvement of the Remainder Term in the Divisor Problem." 数学笔记 6, 545-554, 1969. English translation in Math. Notes 6, 784-791, 1969.Kolesnik, G. "On the Order of zeta(1/2+it) and Delta(R)." 太平洋数学杂志 98, 107-122, 1982.Littlewood, J. E. and Walfisz, A. "The Lattice Points of a Circle. (With a Note by Prof. E. Landau.)." 伦敦皇家学会会刊 (A辑) 106, 478-488, 1925.van der Corput, J. G. "Zum Teilerproblem." 数学年刊 98, 697-716, 1928.Vinogradov, I. M. "Anzahl der Gitterpunkte in der Kugel." 斯捷克洛夫物理数学研究所文集 (列宁格勒) 9, 17-38, 1935. [俄语].

在 中被引用

狄利克雷除数问题

请引用为

Weisstein, Eric W. "狄利克雷除数问题。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DirichletDivisorProblem.html

主题分类