双峰

对于一个整数 ，令 表示 的最小素因子。一对数对 整数 被称为双峰，如果

1. ,

2. ,

3. 对于所有 ， 意味着 。

最小素因子函数的折线图类似于锯齿状的山脉地形。就这种地形而言，双峰由两座高度相等的山峰组成，它们之间没有高度相等或更高的山峰。用 表示双峰 的高度。根据最小素因子函数的定义， 必须是素数。

称两个双峰 之间的距离为

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那么 必须是 的偶数倍；也就是说， 其中 是偶数。一个 的双峰被称为 -双峰。因此，我们可以谈论 -双峰、-双峰等等。一个 -双峰完全由 、 和 指定，由此我们可以轻松计算出 。

-双峰的集合是周期性的，周期为 ，其中 是 的素数阶乘。也就是说，如果 是一个 -双峰，那么 也是。-基本双峰是一个在基本周期 内具有 的双峰。-基本双峰的集合关于基本周期对称；也就是说，如果 是 上的双峰，那么 也是。

David Wilson (私人交流，1997 年 2 月 10 日) 首次提出了双峰的存在性问题。Wilson 已经私下表明高度为 的双峰不太可能存在，但未能完全排除它们的存在。当天晚些时候，John H. Conway、Johan de Jong、Derek Smith 和 Manjul Bhargava 合作发现了第一个双峰。在黑板上研究了两个小时后，他们发现 承认 -双峰

(2)

这解决了存在性问题。此后不久，Fred Helenius 发现了较小的 -双峰，其中 和

(3)

现在的重点转移到寻找承认 -双峰的最小素数 。1997 年 2 月 12 日，Fred Helenius 发现了 ，它承认 240 个基本 -双峰，其中最小的是

(4)

Helenius 的结果得到了 Dan Hoey 的证实，后者还计算了 -最小双峰 和 -基本双峰的数量 ，对于 、79 和 83。他的结果总结在下表中 (OEIS A009190)。

71	7310131732015251470110369	240
73	2061519317176132799110061	40296
79	3756800873017263196139951	164440
83	6316254452384500173544921	6625240

高度为 的 -双峰是已知最小的双峰。Wilson 发现了最小的已知 -双峰，其中 ，以及另一个非常大的 -双峰，其中 。Richard Schroeppel 指出，后一个双峰位于其基本周期的高端，并且其在基本周期 内的反射较小。

关于双峰，仍然存在许多未解决的问题，例如：

1. 最小的双峰是什么 (最小的 )？

2. 承认 -双峰的最小素数 是什么？

3. -双峰是否存在？

4. 正如 Conway 所论证的那样，双峰的跨度是否存在上限？

5. 令 为素数。如果 和 各自承认 -双峰，那么 是否必然承认 -双峰？