黎曼猜想

黎曼猜想首次发表于黎曼 1859 年的开创性论文 (Riemann 1859) 中，是一个深刻的数学猜想，它指出非平凡 黎曼 zeta 函数零点，即 值（除了 、 、 、 ... 使得 (其中 是 黎曼 zeta 函数)）都位于“临界线” 上（其中 表示 的实部）。

一个更广义的陈述，被称为 广义黎曼猜想，推测 黎曼 zeta 函数 和任何 狄利克雷 L-级数 都没有 实部 大于 1/2 的零点。

传说在赫维茨去世后，在他的图书馆里发现的黎曼著作集中，会自动翻到黎曼猜想被提出的那一页 (Edwards 2001, p. ix)。

长期以来，人们认为黎曼猜想是黎曼深刻直觉的结果，但 C. L. Siegel 对黎曼论文的检查表明，黎曼对 黎曼 zeta 函数 的小零点进行了详细的数值计算，精确到小数点后几位 (Granville 2002; Borwein and Bailey 2003, p. 68)。

迄今为止，黎曼猜想抵制了所有证明它的尝试。Stieltjes (1885) 发表了一篇笔记，声称已经证明了 梅滕斯猜想，其中 ，这个结果比黎曼猜想更强，并且可以从中推导出黎曼猜想。然而，该证明本身从未发表，也没有在 Stieltjes 死后的论文中找到 (Derbyshire 2004, pp. 160-161 和 250)。此外，梅滕斯猜想已被证明是错误的，完全否定了这一说法。在 20 世纪 40 年代后期，时代杂志报道了 H. Rademacher 对黎曼猜想的错误证伪，即使在 Siegel 发现该证明中的缺陷之后也是如此 (Borwein and Bailey 2003, p. 97; Conrey 2003)。de Branges 撰写了许多论文，讨论了 广义黎曼猜想 的潜在方法 (de Branges 1986, 1992, 1994)，实际上声称证明了广义黎曼猜想 (de Branges 2003, 2004; Boutin 2004)，但这些论文中似乎没有实际的证明。此外，Conrey 和 Li (1998) 证明了 de Branges 方法的反例，这基本上意味着 de Branges 开发的理论是不可行的。

证明黎曼猜想是 希尔伯特问题 的第 8 个问题和 斯梅尔问题 的第 1 个问题。

2000 年，克雷数学研究所 (http://www.claymath.org/) 为证明黎曼猜想提供了 100 万美元的奖金 (http://www.claymath.org/millennium/Rules_etc/)。有趣的是，证伪 黎曼猜想（例如，通过使用计算机实际找到一个不在 临界线 上的零点）不会获得 100 万美元的奖励。

黎曼猜想已经过计算测试，发现对于前 个零点是成立的，由 Brent et al. (1982) 完成，涵盖了区域 中的零点 。S. Wedeniwski 使用 ZetaGrid (http://www.zetagrid.net/) 证明了前一万亿 () 个非平凡零点位于 临界线 上。Gourdon (2004) 随后使用 Odlyzko 和 Schönhage 的更快方法验证了前一千万亿 () 个 函数的非平凡零点位于 临界线 上。此计算验证了黎曼猜想至少对于所有小于 2.4 万亿的 都是成立的。这些结果总结在下表中，其中 表示一个 格拉姆点。

		来源
		Brent et al. (1982)
		Wedeniwski/ZetaGrid
		Gourdon (2004)

黎曼猜想等价于狄利克雷 eta 函数（又名交错 zeta 函数）的所有零点的陈述：

(1)

落在 临界带 中的零点都位于 临界线 上。

维纳表明，素数定理 实际上等价于 黎曼 zeta 函数 在 上没有零点的断言 (Hardy 1999, pp. 34 和 58-60; Havil 2003, p. 195)。

1914 年，哈代证明了可以找到 的无限个值，使得 且 (Havil 2003, p. 213)。然而，尚不清楚所有非平凡根 是否满足 。塞尔伯格 (1942) 表明，正比例的非平凡零点位于 临界线 上，Conrey (1989) 证明该比例至少为 40% (Havil 2003, p. 213)。

安德烈·韦伊证明了黎曼猜想对于场函数是成立的 (Weil 1948, Eichler 1966, Ball and Coxeter 1987)。1974 年，莱文森 (1974ab) 表明至少 1/3 的根必须位于 临界线 上 (Le Lionnais 1983)，这一结果后来被锐化到 40% (Vardi 1991, p. 142)。已知零点关于直线 对称分布。这源于对于所有复数 ，

1. 和 复共轭 关于这条直线对称分布。

2. 从定义 (1) 可以看出，黎曼 zeta 函数 满足 ，因此如果 是一个零点，那么 也是一个零点，因为那时 。

还已知非平凡零点关于 临界线 对称分布，这个结果源于函数方程和关于直线 的对称性。因为如果 是一个非平凡零点，那么 也是一个零点（根据函数方程），然后 是另一个零点。但是 和 关于直线 对称分布，因为 ，并且如果 ，那么 。黎曼猜想等价于 ，其中 是 de Bruijn-Newman 常数 (Csordas et al. 1994)。它也等价于断言对于某个常数 ，

(2)

其中 是 对数积分， 是 素数计数函数 (Wagon 1991)。另一个等价形式指出

(3)

其中

(4)

且 是 小数部分 (Balazard and Saias 2000)。

通过修改 Robin (1984) 的一个判据，Lagarias (2000) 表明黎曼猜想等价于以下陈述：

(5)

对于所有 ，只有当 时等号成立，其中 是调和数， 是 除数函数 (Havil 2003, p. 207)。上面的图显示了这两个函数（左图）及其差值（右图），对于 最大到 1000。

还存在黎曼猜想的有限类似物，涉及由如下方程定义的函数域的零点位置：

(6)

韦伊提出的这个猜想类似于通常的黎曼猜想。对于特定情况 、(3,3)、(4,4) 和 (2,4)，高斯已知解的数量。

据菲尔兹奖得主恩里科·邦比耶里说，“黎曼猜想的失败将会在素数分布中造成混乱” (Havil 2003, p. 205)。

在朗·霍华德 2001 年的电影美丽心灵中，约翰·纳什（罗素·克劳饰演）因服用治疗精神分裂症的药物而阻碍了他解决黎曼猜想的尝试。

在电视剧数字追凶第一季的剧集 "头号嫌疑犯" (2005) 中，数学天才查理·埃普斯意识到角色伊森的女儿被绑架，是因为他即将解决黎曼猜想，据称这将使肇事者能够破解基本上所有的互联网安全。

在小说天才之后的生活 (Jacoby 2008) 中，主角西奥多“米德”费格利（年仅 18 岁，大学高年级学生）试图为他的毕业研究项目证明黎曼猜想。他还使用 Cray 超级计算机计算了黎曼 zeta 函数的数十亿个零点。在书中的几个梦境中，米德与伯恩哈德·黎曼就这个问题和一般数学进行了对话。