模形式

函数 被称为权为 的整模形式，如果它满足

1. 在上半平面 上是解析的，

2. 每当 是 模群 Gamma 的成员时，，

3. 的傅里叶级数具有以下形式

(1)

在查阅文献时必须小心，因为一些作者使用术语“维数 ”或“次数 ”而不是“权 ”，而另一些作者则写 而不是 (Apostol 1997, pp. 114-115)。更一般的模形式类型（不是“整模”）也可以定义，它们允许在 或 处有极点。由于克莱因绝对不变量 ，它是一个模函数，在 处有一个极点，因此它是权为 0 的非整模形式。

所有权为 的整模形式的集合表示为 ，它是复数域上的线性空间。 的维数对于 、6、8、10 和 14 为 1 (Apostol 1997, p. 119)。

是 在 处的值，如果 ，则该函数称为尖点形式。使得 的最小 称为 在 处的零点的阶。 的估计指出

(2)

如果 且不是 尖点形式 (Apostol 1997, p. 135)。

如果 是权为 的非零整模形式，令 在基本区域 的闭包（省略顶点）中具有 个零点。那么

(3)

其中 是在点 处的零点的阶 (Apostol 1997, p. 115)。此外，

1. 唯一的权为 的整模形式是常数函数。

2. 如果 是奇数，，或 ，那么唯一的权为 的整模形式是零函数。

3. 每个非常数整模形式的权 ，其中 是偶数。

4. 唯一的权为 的整尖点形式是零函数。

(Apostol 1997, p. 116)。

对于权为 的偶数 整模形式，定义 对于所有 。那么 可以唯一表示为和

(4)

其中 是复数， 是艾森斯坦级数，而 是魏尔斯特拉斯椭圆函数的模判别式。尖点形式的偶数 权 是那些 的和 (Apostol 1997, pp. 117-118)。更令人惊讶的是，每个权为 的整模形式 是 和 的多项式，由下式给出

(5)

其中 是复数，并且总和扩展到所有满足 的整数 (Apostol 1998, p. 118)。

模形式满足相当惊人和特殊的性质，这归因于它们令人惊讶的内部对称性阵列。Hecke 发现了每个模形式与相应的狄利克雷 L-级数之间惊人的联系。有理椭圆曲线和模形式之间的一个显著联系由谷山-志村猜想给出，该猜想指出任何有理椭圆曲线都是伪装的模形式。这个结果是安德鲁·怀尔斯在他著名的费马最后定理证明中证明的。