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奇数除数函数

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奇数除数函数

sigma_k^((o))(n)=sum_(d|n; d odd)d^k
(1)

是数字 n 的 奇数 除数 的 k 次幂之和。它是仅针对奇数除数的 除数函数 的对应物。

对于 k=1 的情况，k=1,

sigma_1^((o))(n)=sum_(d|n; d odd)d
(2)
=sum_(d|n)((-1)^(d+1)n)/d
(3)
=sigma_1(n)-2sigma_1(n/2),
(4)

其中，如果 n 是 奇数，则 sigma_k(n/2) 定义为 0。 生成函数 由下式给出

sum_(n=0)^(infty)sigma_1^((o))(n)x^n=sum_(n=0)^(infty)(nx^n)/(1+x^n)
(5)
=1/(24)[theta_3^4(x)+theta_2^4(x)]
(6)
=x+x^2+4x4+6x^5+4x^6+8x^7+...,
(7)

其中 theta_n(q) 是 Jacobi 椭圆函数。

令人惊讶的是，sigma_0^((o))(n) 给出了多项式 a^n+1 的因子数。

下表给出了前几个 sigma_k^((o))(n) 的值。

kOEISsigma_k^((o))(n)
0A0012271, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, ...
1A0005931, 1, 4, 1, 6, 4, 8, 1, 13, 6, ...
2A0509991, 1, 10, 1, 26, 10, 50, 1, 91, 26, ...
3A0510001, 1, 28, 1, 126, 28, 344, 1, 757, 126, ...
4A0510011, 1, 82, 1, 626, 82, 2402, 1, 6643, 626, ...
5A0510021, 1, 244, 1, 3126, 244, 16808, 1, 59293, 3126, ...

此函数出现在 Ramanujan 的 Eisenstein 级数 L(q) 和用于 分割函数 P 的 递归关系 中。

另请参阅

除数函数, 偶数除数函数

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参考文献

Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, p. 306, 2005.Hirzebruch, F. Manifolds and Modular Forms, 2nd ed. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 133, 1994.Riordan, J. Combinatorial Identities. New York: Wiley, p. 187, 1979.Sloane, N. J. A. Sequences A000593/M3197, A001227, A050999, A051000, A051001, and A051002 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Verhoeff, T. "Rectangular and Trapezoidal Arrangements." J. Integer Sequences 2, #99.1.6, 1999.

在 中被引用

奇数除数函数

请引用为

Eric W. Weisstein. "奇数除数函数". 来自 网络资源. https://mathworld.net.cn/OddDivisorFunction.html

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