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兰伯特级数

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兰伯特级数是如下形式的级数的形如

F(x)=sum_(n=1)^inftya_n(x^n)/(1-x^n)
(1)

对于 |x|<1. 那么

F(x)=sum_(n=1)^(infty)a_nsum_(m=1)^(infty)x^(mn)
(2)
=sum_(N=1)^(infty)b_Nx^N,
(3)

其中

b_N=sum_(n|N)a_n.
(4)

特殊情况 a_n=1 有时表示为

L(beta)=sum_(n=1)^(infty)(beta^n)/(1-beta^n)
(5)
=sum_(n=1)^(infty)1/(beta^(-n)-1)
(6)
=(psi_beta(1)+ln(1-beta))/(lnbeta)
(7)

对于 |beta|<1 (Borwein 和 Borwein 1987, pp. 91 和 95), 其中 psi_q(z) 是一个 q-多伽玛函数。特殊情况和相关求和包括

sum_(n=1)^(infty)(beta^n)/(1+beta^(2n))=1/4[theta_3^2(beta)-1]
(8)
sum_(n=1)^(infty)(beta^(2n+1))/(1+beta^(4n+2))=1/4[theta_3^2(beta)-theta_2^2(beta)]
(9)
=1/4theta_2^2(beta^2)
(10)
sum_(n=1)^(infty)(beta^n)/(1-beta^(2n))=L(beta)-L(beta^2)
(11)
sum_(n=1)^(infty)(beta^(2n+1))/(1-beta^(4n+2))=L(beta)-2L(beta^2)+L(beta^4)
(12)

(Borwein 和 Borwein 1997, pp. 91-92), 这出现在 倒数斐波那契 和 倒数卢卡斯常数 中。

一些这种类型的优美级数包括

sum_(n=1)^(infty)(mu(n)x^n)/(1-x^n)=x
(13)
sum_(n=1)^(infty)(phi(n)x^n)/(1-x^n)=x/((1-x)^2)
(14)
sum_(n=1)^(infty)(x^n)/(1-x^n)=sum_(n=1)^(infty)d(n)x^n
(15)
=(psi_x(1)+ln(1-x))/(lnx)
(16)
sum_(n=1)^(infty)(n^kx^n)/(1-x^n)=sum_(n=1)^(infty)sigma_k(n)x^n
(17)
4sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1)x^(2n+1))/(1-x^(2n+1))=sum_(n=1)^(infty)r_2(n)x^n
(18)
=theta_3^2(x)-1
(19)
sum_(n=1)^(infty)(lambda(n)x^n)/(1-x^n)=sum_(n=1)^(infty)x^(n^2)
(20)
=1/2[theta_3(x)-1]
(21)
sum_(n=1)^(infty)(lsb(n)x^n)/(1-x^n)=(ln(1-x^2)+psi_(x^2)(1/2))/(ln(x^2)),
(22)

其中 mu(n) 是 莫比乌斯函数, phi(n) 是 欧拉函数, d(n)=sigma_0(n) 是 n 的除数个数, psi_q(z) 是 q-多伽玛函数, sigma_k(n) 是 除数函数, r(n) 是 n 以 n=A^2+B^2 形式表示的表示数, 其中 A 和 B 是有理整数 (Hardy 和 Wright 1979), theta_3(q) 是雅可比椭圆函数 (Bailey et al. 2006), lambda(n) 是 刘维尔函数, 并且 lsb(n) 是 最低有效位 of n.

另请参阅

除数函数, Erdős-Borwein 常数, Lambda 函数, 莫比乌斯函数, 莫比乌斯变换, 倒数斐波那契常数, 倒数卢卡斯常数, 欧拉函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "数论函数." §24.3.1 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 826-827, 1972.Apostol, T. M. 数论中的模函数和狄利克雷级数，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 24-15, 1997.Arndt, J. "关于计算广义兰伯特级数。" 2012 年 6 月 24 日。 http://arxiv.org/abs/1202.6525.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; 和 Weisstein, E. W. "实验数学中的十个问题。" Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. "斐波那契数列倒数和的评估。" §3.7 in Pi & the AGM: 解析数论和计算复杂性研究。 New York: Wiley, pp. 91-101, 1987.Erdős, P. "关于兰伯特级数的算术性质。" J. Indian Math. Soc. 12, 63-66, 1948.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. 数论导论，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 257-258, 1979.

在 Wolfram|Alpha 中引用

兰伯特级数

引用为

Weisstein, Eric W. "兰伯特级数." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LambertSeries.html

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