互异质因数

一个正整数的互异质因数定义为个数 , ..., 在质因数分解中

(1)

(Hardy and Wright 1979, p. 354)。

数字的互异质因数列表可以使用 Wolfram 语言计算，使用FactorInteger[n][[All, 1]], 并且互异质因数的数量被实现为PrimeNu[n]。

的前几个值，对于 , 2, ... 是 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, ... (OEIS A001221; Abramowitz and Stegun 1972, Kac 1959)。这个序列由 ${chi_P(n)}$ 的逆莫比乌斯变换给出，其中是质数的特征函数 (Sloane and Plouffe 1995, p. 22)。下表列出了前几个正整数的质因数分解和互异质因数。

	质因数分解		互异质因数 (A027748)
1	--	0	--
2	2	1	2
3	3	1	3
4		1	2
5	5	1	5
6		2	2, 3
7	7	1	7
8		1	2
9		1	3
10		2	2, 5
11	11	1	11
12		2	2, 3
13	13	1	13
14		2	2, 7
15		2	3, 5
16		1	2

仅由互异质因数组成的数字正是无平方因子数。

涉及的和由下式给出

(2)

对于 (Hardy and Wright 1979, p. 255)。

的平均阶为

(3)

(Hardy 1999, p. 51)。更精确地，

(4)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003)，其中是梅尔滕斯常数，是 Stieltjes 常数。此外，方差由下式给出

(5)

其中

			(6)
			(7)

(OEIS A091588)，其中

(8)

(OEIS A085548) 是质数 Zeta 函数 (Finch 2003)。系数和由以下和给出

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003)，其中

			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

(Finch 2003)。

如果是一个素数阶乘，那么

(18)

(Hardy and Wright 1979, p. 355)。

的求和函数由下式给出

(19)

其中是梅尔滕斯常数 (Hardy 1999, p. 57)，项 (Hardy and Ramanujan 1917; Hardy and Wright 1979, p. 355) 已被重写为更明确的形式，并且和是渐近记号。求和函数的前几个值是 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21, ... (OEIS A013939)。此外，

(20)

(Hardy and Wright 1979, p. 357)。

前几个数是奇数个互异质因数的乘积 (Hardy 1999, p. 64; Ramanujan 2000, pp. xxiv and 21) 是 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47, ... (OEIS A030059)。满足

(21)

(Hardy 1999, pp. 64-65)。此外，如果是的数量，其中，那么

(22)

(Hardy 1999, pp. 64-65)。

另请参阅

Dedekind 函数, 互异质因数分解, 除数函数, Erdős-Kac 定理, 最大质因数, Hardy-Ramanujan 定理, 异构数, 最小质因数, 梅尔滕斯常数, 质因数, 无平方因子数

使用探索

更多尝试

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 844, 1972.Diaconis, P. "数字

的质因数数量的均值和方差的渐近展开。" Dept. Statistics Tech. Report 96, Stanford, CA: Stanford University, 1976.Diaconis, P. "G. H. Hardy 和概率？？？" Bull. London Math. Soc. 34, 385-402, 2002.Finch, S. "两个渐近级数。" 2003 年 12 月 10 日。 http://algo.inria.fr/bsolve/.Hardy, G. H. 拉马努金：关于他生平和工作启发的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Ramanujan, S. "数字

的质因数的正常数量。" Quart. J. Math. 48, 76-92, 1917.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "

的质因数数量" 和 "

和

的正常阶。" §22.10 和 22.11 in 数论导论，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 354-358, 1979.Kac, M. 概率、分析和数论中的统计独立性。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 64, 1959.Knuth, D. E. 算法分析精选论文。 Stanford, CA: CSLI Publications, pp. 338-339, 2000.Knuth, D. E. "

和

的渐近性。" Finch (2003) 引用。未发表的笔记，2003 年。Ramanujan, S. 斯里尼瓦萨·拉马努金论文集 (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Sloane, N. J. A. 序列 A001221/M0056, A013939, A027748, A085548, 和 A091588 在 "整数序列在线百科全书" 中。Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 整数序列百科全书。 San Diego, CA: Academic Press, 1995.

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请引用为

Weisstein, Eric W. "互异质因数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DistinctPrimeFactors.html

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