主题
Search

素数定理

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
PrimePi

素数定理给出了素数计数函数 pi(n) 的渐近形式，它计数了小于某个整数 n 的素数的数量。勒让德 (Legendre) (1808) 提出，对于大的 n，

pi(n)∼n/(lnn+B),
(1)

其中 B=-1.08366 （其中 B 有时被称为勒让德常数），这个公式仅在主导项中是正确的，

n/(lnn+B)sinn/(lnn)-Bn/((lnn)^2)+B^2n/((lnn)^3)+...
(2)

(Nagell 1951, p. 54; Wagon 1991, pp. 28-29; Havil 2003, p. 177)。

在 1792 年，年仅 15 岁的 高斯 提出

pi(n)∼n/(lnn).
(3)

高斯 后来将他的估计改进为

pi(n)∼Li(n),
(4)

其中

Li(n)=int_2^n(dx)/(lnx)
(5)

是对数积分。高斯 没有发表这个结果，他最早在 1849 年写给 恩克 的信中提到它。它随后于 1863 年被追授发表 (Gauss 1863; Havil 2003, pp. 174-176)。

请注意，Li(n) 具有关于 infty 的渐近级数

Li(n)∼sum_(k=0)^(infty)(k!n)/((lnn)^(k+1))
(6)
∼n/(lnn)+n/((lnn)^2)+(2n)/((lnn)^3)+...,
(7)

并且已经表明，取前三项比单独的 n/lnn 更好 (Derbyshire 2004, pp. 116-117)。

语句 (4) 通常被称为“素数定理”，并由 阿达玛 (Hadamard) (1896) 和 德拉瓦莱-普桑 (de la Vallée Poussin) (1896) 独立证明。上面显示了 pi(n) (下曲线) 和 Li(n) 对于 n<=1000 的图。

对于小的 n，已经检查过，并且总是发现 pi(n)<Li(n)。因此，许多杰出的数学家，包括 高斯 和 黎曼，都推测这个不等式是严格的。令所有人惊讶的是，当 李特伍德 (Littlewood) (1914) 证明对于足够大的 n，不等式会无限次反转时，这个猜想被驳斥了 (Ball and Coxeter 1987; Havil 2003, p. 199)。然后， 斯库斯 (Skewes) 表明，pi(n)-Li(n)=0 的第一次交叉发生在 10^(10^(10^(34))) 之前，这个数字现在被称为 斯库斯数 (Havil 2003, p. 199)。交叉点的上限随后已降至 10^(371)。莱曼 (Lehman) (1966) 证明，对于具有 1166 或 1167 位十进制数字的数字，至少发生 10^(500) 次反转。

切比雪夫 (Chebyshev) 对比率设置了限制

7/8<(pi(n))/(n/(lnn))<9/8
(8)

(Landau 1927; Nagell 1951, p. 55; Landau 1974; Hardy and Wright 1979, Ch. 22; Ingham 1990; Rubinstein and Sarnak 1994; Hardy 1999, p. 27; Derbyshire 2004, pp. 124 和 154)。对于大的 n，他表明

0.89Li(n)<pi(n)<1.11Li(n),
(9)

其中 Li(x) 是对数积分 (Edwards 2001, p. 4)，并且

0.922<(pi(n))/(n/(lnn))<1.105
(10)

(Havil 2003, p. 186)。他还表明，如果极限

lim_(n->infty)(pi(n))/(n/(lnn))
(11)

存在，则它为 1 (Havil 2003, p. 186)。德比郡 (Derbyshire) (2004, p. 124) 的说法，即在 1850 年，切比雪夫 (Chebyshev) 也表明，pi(n) 与 n/lnn 的差异不超过约 10%，因此仅对于足够大的 n 是正确的。

阿达玛 (Hadamard) 和 德拉瓦莱-普桑 (de la Vallée Poussin) 在 1896 年独立证明了素数定理，他们证明了黎曼 zeta 函数 zeta(z) 没有形如 1+it 的零点，这意味着证明不需要 zeta(s) 的更深层次的性质 (Smith 1994, p. 128; Hardy 1999, pp. 58-60)。维纳 (Wiener) (1951) 允许从字面上解释这个有些模糊的陈述 (Hardy 1999, pp. 34 和 46)，并且 朗道 (Landau) (1932) 和 博赫纳 (Bochner) (1933) 简化了这个证明。

埃尔德什 (Erdős) (1949) 和 塞尔伯格 (Selberg) (1950) 发现了初等证明 (Ball and Coxeter 1987, p. 63; Havil 2003, p. 188)，尽管关于这项联合工作的优先权纠纷破坏了这个原本优美的证明 (Hoffman 1998, pp. 39-41; Derbyshire 2004, p. 125)。素数定理的初等证明的版本出现在 Nagell (1951) 的最后一节以及 Hardy 和 Wright (1979, pp. 359-367) 中。正如 Hardy 和 Wright (1979, p. 9) 所指出的那样，尽管这个证明是“初等的”，但“这个证明并不容易。”

阿达玛 (Hadamard) 的证明依赖于简单的三角不等式

3+4costheta+cos(2theta)=2(1+costheta)^2>=0
(12)

(Hardy 1999, p. 58; Havil 2003, p. 187)。德拉瓦莱-普桑 (de la Vallée Poussin) (1899) 表明

pi(x)=Li(x)+O(x/(lnx)e^(-asqrt(lnx)))
(13)

对于某个常数 a (Knuth 1998, p. 381)，其中 O(x) 是渐近符号。1901 年，科赫 (Koch) 表明，如果黎曼猜想为真，则

pi(x)=Li(x)+O(sqrt(x)lnx)
(14)

(Havil 2003, p. 205)，它可以写成稍微弱一点的形式

pi(x)=Li(x)+O(x^(1/2+epsilon))
(15)

(Derbyshire 2004, pp. 237 和 242-244)。

（15）中的误差项随后已改进为

pi(x)=Li(x)+O(xexp(-(A(lnx)^(3/5))/((lnlnx)^(1/5))))
(16)

(Walfisz 1963; Riesel 1994, p. 56; Knuth 1998, p. 382; Derbyshire 2004, p. 244)。英厄姆 (Ingham) (1930) 使用拉马努金 (Ramanujan) 恒等式证明了素数定理

sum_(n=1)^infty(sigma_a(n)sigma_b(n))/(n^s)=(zeta(s)zeta(s-a)zeta(s-b)zeta(s-a-b))/(zeta(2s-a-b)),
(17)

其中 sigma_a(n) 是除数函数 (Hardy 1999, pp. 59-60)。

黎曼 (Riemann) 用以下公式估计了素数计数函数

pi(n)∼Li(n)-1/2Li(n^(1/2)),
(18)

对于 n<10^7，这是一个比 Li(n) 更好的近似值。黎曼 (Riemann) (1859) 还提出了黎曼函数

R(x)=sum_(n=1)^infty(mu(n))/nLi(x^(1/n)),
(19)

其中 mu 是莫比乌斯函数 (Wagon 1991, p. 29)。对于小的 n（对于 n<10^9，系数为 10）来说，更好的近似是格拉姆级数。

素数定理等价于以下任一形式

lim_(x->infty)(theta(x))/x=1
(20)

或

lim_(x->infty)(psi(x))/x=1,
(21)

其中 theta(x) 和 psi(x) 是切比雪夫函数。切比雪夫 (Chebyshev) 表明，这些表达式的唯一可能极限是 1，但无法证明极限的存在 (Hardy 1999, p. 28)。

黎曼猜想等价于以下断言

|Li(x)-pi(x)|<=csqrt(x)lnx
(22)

对于某个 c 值 (Ingham 1990, p. 83; Landau 1974, pp. 378-388; Ball and Coxeter 1987; Hardy 1999, p. 26)，正如 Koch 在 1901 年所证明的那样 (Havil 2003, p. 205)。在不假设黎曼猜想的情况下获得的一些极限是

pi(x)=Li(x)+O[xe^(-(lnx)^(1/2)/15)]
(23)
pi(x)=Li(x)+O[xe^(-0.009(lnx)^(3/5)/(lnlnx)^(1/5))].
(24)

另请参阅

伯特兰公设, 切比雪夫函数, 切比雪夫定理, 狄利克雷定理, 格拉姆级数, 素数计数函数, 黎曼函数, 塞尔伯格公式, 斯库斯数 在 MathWorld 课堂中探索此主题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. 纽约：施普林格出版社，1976年。Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. 纽约：多佛出版社，pp. 62-64, 1987。Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. 纽约：施普林格出版社，1994年。Bochner. Math. Z. 37, 1-9, 1933.Borwein, J. 和 Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, p. 64, 2003.Courant, R. 和 Robbins, H. "素数定理。" §1.2c in Supplement to Ch. 1 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. 牛津，英格兰：牛津大学出版社，pp. 27-30, 1996。Crandall, R. 和 Pomerance, C. Prime Numbers: A Computational Perspective, 2nd ed. 纽约：施普林格出版社，2005年。Davenport, H. "素数定理。" Ch. 18 in Multiplicative Number Theory, 2nd ed. 纽约：施普林格出版社，pp. 111-114, 1980。de la Vallée Poussin, C.-J. "Recherches analytiques la théorie des nombres premiers." 布鲁塞尔科学学会年报 20, 183-256, 1896.Vallée Poussin, C. 比利时皇家科学院获奖论文集 59, 1-74, 1899.Derbyshire, J. "素数定理。" Ch. 3 in Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. 纽约：企鹅出版社，pp. 32-47, 2004。Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. 纽约：多佛出版社，2001年。Erdős, P. "Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers." Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.Gauss, C. F. Werke, Band 10, Teil I. p. 10, 1863.Hadamard, J. "Sur la distribution des zéros de la fonction zeta(s) et ses conséquences arithmétiques (')." 法国数学会公报 24, 199-220, 1896.Hardy, G. H. "素数定理的证明" 和 "证明的第二次近似。" §2.5 和 2.6 in Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. 纽约：切尔西出版社，pp. 16, 27, 和 28-33, 1999。Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "素数定理的陈述。" §1.8 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. 牛津，英格兰：克拉伦登出版社，pp. 9-10, 1979。Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. 普林斯顿，新泽西州：普林斯顿大学出版社，2003年。Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. 纽约：亥伯龙神出版社，1998年。Ingham, A. E. "关于黎曼 zeta-函数和狄利克雷 L-函数。" 伦敦数学会杂志 5, 107-112, 1930。Ingham, A. E. The Distribution of Prime Numbers. 伦敦：剑桥大学出版社，p. 83, 1990。Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. 雷丁，马萨诸塞州：艾迪生-韦斯利出版社，1998年。Landau, E. Elementare Zahlentheorie. 莱比锡，德国：希尔泽出版社，1927年。普罗维登斯，罗德岛州：美国数学学会，1990年重印。Landau, E. 柏林会议报告, 514-521, 1932.Landau, E. Vorlesungen über Zahlentheorie, Vol. 1. 纽约：切尔西出版社，pp. 79-96, 1970。Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 3rd ed. 纽约：切尔西出版社，1974年。Legendre, A. M. Essai sur la Théorie des Nombres. 巴黎：杜普拉特出版社，1808年。Lehman, R. S. "关于差值 pi(x)-Li(x)。" 算术学报 11, 397-410, 1966。Littlewood, J. E. "Sur les distribution des nombres premiers." 巴黎科学院报告 158, 1869-1872, 1914。Lu, W. C. "On the Elementary Proof of the Prime Number Theorem with a Remainder Term." 落基山数学杂志 29, 979, 1999.Nagell, T. "素数定理。" Ch. 8 in Introduction to Number Theory. 纽约：威利出版社，pp. 275-299, 1951。Riemann, G. F. B. "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." 柏林皇家普鲁士科学院月报, 671-680, 1859年11月。重印于 Das Kontinuum und Andere Monographen (Ed. H. Weyl). 纽约：切尔西出版社，1972年。Riesel, H. "素数定理中的余项。" Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. 波士顿，马萨诸塞州：比克豪泽出版社，p. 6, 1994。Rubinstein, M. 和 Sarnak, P. "切比雪夫偏差。" 实验数学 3, 173-197, 1994。Selberg, A. "An Elementary Proof of the Prime Number Theorem." 数学年刊 50, 305-313, 1949。Shanks, D. "素数定理。" §1.6 in Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. 纽约：切尔西出版社，pp. 15-17, 1993。Smith, D. E. A Source Book in Mathematics. 纽约：多佛出版社，1994年。Wagon, S. Mathematica in Action. 纽约：W. H. 弗里曼出版社，pp. 25-35, 1991。Walfisz, A. Ch. 5 in Weyl'sche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. 柏林：德国科学出版社，1963年。Wiener, N. §19 et seq. in The Fourier Integral and Certain of Its Applications. 纽约：多佛出版社，1951年。

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "素数定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PrimeNumberTheorem.html

学科分类