同余

如果两个数 和 的差 可以被一个数 整除（即， 是一个整数），那么 和 被称为“模 同余”。数 称为模数，而语句“ 与 模 同余”在数学上写为

(1)

如果 不能 被 整除，则称“ 与 模 不同余”，记为

(2)

当模数 在上下文中被理解时，显式的“（mod ）”有时会被省略，因此在这种情况下，必须注意不要将符号 与等价符号混淆。

量 有时被称为“基数”，量 被称为剩余或余数。有几种类型的剩余。常用剩余定义为非负且小于 ，而最小剩余是 或 ，以绝对值较小者为准。

同余算术可能是最熟悉的时钟算术的推广。由于一小时有 60 分钟，“分钟算术”使用模数 。如果从过小时 40 分钟开始，然后等待 35 分钟，，因此当前时间将是过（下一个）小时 15 分钟。

类似地，12 小时制时钟上的“小时算术”使用模数 ，因此上午 10 点加五个小时得到 ，即下午 3 点。

同余满足许多重要的性质，并且在数论的许多领域都非常有用。使用同余，有时可以推导出简单的整除性检验来检查给定数字是否可以被另一个数字整除。例如，如果一个数字的各位数字之和可以被 3 (9) 整除，则原始数字可以被 3 (9) 整除。

同余也有其局限性。例如，如果 且 ，则可以得出 ，但通常不能得出 或 。此外，通过“滚动溢出”，同余会丢弃绝对信息。例如，知道过小时的分钟数很有用，但知道分钟数是过哪个小时则通常更有用。

设 和 ，则同余的重要性质包括以下内容，其中 表示“蕴含”

1. 等价性： （可以视为定义）。

2. 确定性： 或 。

3. 自反性：。

4. 对称性：。

5. 传递性： 且 。

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. 且 ，其中 是最小公倍数。

12. ，其中 是最大公约数。

13. 如果 ，则 ，对于 一个多项式。

性质 (6-8) 可以通过简单地定义来证明

			(3)
			(4)

其中 和 是整数。然后

			(5)
			(6)
			(7)

因此这些性质成立。

同余也适用于分数（即，有理数）以及整数，并且可以称为分数同余。