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除数

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一个数 n 的除数，也称为因子，是一个可以整除 n 的数 d (记作 d|n)。对于整数，通常只考虑正除数，但显然任何正除数的负数本身也是一个除数。给定整数 n 的（正）除数列表可以通过 Wolfram 语言 函数返回除数[n]。

求和与求积通常只针对给定数字的除数的值的子集进行。 这样的总和将表示为，例如，

sum_(d|n)f(d).
(1)

这些求和在 Wolfram 语言 中实现为DivisorSum[n, form, cond]。

下表列出了前几个正整数的除数 (OEIS A027750)。

n除数
11
21, 2
31, 3
41, 2, 4
51, 5
61, 2, 3, 6
71, 7
81, 2, 4, 8
91, 3, 9
101, 2, 5, 10
111, 11
121, 2, 3, 4, 6, 12
131, 13
141, 2, 7, 14
151, 3, 5, 15

给定数字 n 的除数的总数（可以写为 d(n), sigma_0(n), 或 nu(n)) 可以按如下方式找到。 将数字写成其素因数分解的形式

n=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r).
(2)

对于 n 的任何除数 d，n=dd^' 其中

d=p_1^(delta_1)p_2^(delta_2)...p_r^(delta_r),
(3)

所以

d^'=p_1^(alpha_1-delta_1)p_2^(alpha_2-delta_2)...p_r^(alpha_r-delta_r).
(4)

现在，delta_1=0,1,...,alpha_1，所以有 alpha_1+1 个可能的值。 类似地，对于 delta_n，有 alpha_n+1 个可能的值，因此 n 的除数 d(n) 的总数由下式给出

d(n)=product_(n=1)^r(alpha_n+1).
(5)

除数的乘积可以通过将数字 n 写成所有可能的乘积来找到

n={d^((1))d^('(1)); |; d^((nu))d^('(nu)),
(6)

所以

n^(nu(n))=[d^((1))...d^((nu))][d^('(1))d^('(nu))]
(7)
=product_(i=1)^(nu)d_iproduct_(i=1)^(nu)d_i^'
(8)
=(productd)^2,
(9)

和

productd=n^(nu(n)/2).
(10)

除数的几何平均值是

G=(productd)^(1/nu(n))
(11)
=[n^(nu(n)/2)]^(1/nu(n))
(12)
=sqrt(n).
(13)

算术平均值是

A(n)=(sigma(n))/(nu(n)).
(14)

调和平均值是

1/H=1/(nu(n))(sum1/d).
(15)

但是 n=dd^'，所以 1/d=d^'/n 并且

sum1/d=1/nsumd^'
(16)
=1/nsumd
(17)
=(sigma(n))/n,
(18)

我们有

1/(H(n))=1/(nu(n))(sigma(n))/n=(A(n))/n
(19)
n=A(n)H(n).
(20)

给定三个随机选择的整数，它们没有公约数的概率是

[zeta(3)]^(-1) approx 1.20206^(-1) approx 0.831907,
(21)

其中 zeta(3) 是 Apéry 常数。

恰好有 0、1、2、... 个除数（除了 1 之外）的最小数字是 1、2、4、6、16、12、64、24、36、... (OEIS A005179; Minin 1883-84; Grost 1968; Roberts 1992, p. 86; Dickson 2005, pp. 51-52)。 Fontené (1902) 和 Chalde (1903) 表明，如果 p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_(r-1)^(alpha_(r-1))p_r^(alpha_r) 是除数个数为给定值的最小数字的素因数分解，则 (1) alpha_(r-1) 是素数，(2) alpha_r 是素数，但数字 2^3·3 （有 8 个除数）除外 (Dickson 2005, p. 52)。

设 f(n) 是 [1,n] 的最大子集中元素的数量，使得它的任何元素都不能被其他两个元素整除。 对于足够大的 n，

0.6725...<=(f(n))/n<=0.673...
(22)

(Le Lionnais 1983, Lebensold 1976/1977)。

另请参阅

除数函数, 无穷大除数, 单位除数 在 MathWorld 课堂中探索这个主题

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/Divisors/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Chalde. Nouv. Ann. Math. 3, 471-473, 1903.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, 2005.Fontené, G. Nouv. Ann. Math. 2, 288, 1902.Grost, M. E. "The Smallest Number with a Given Number of Divisors." Amer. Math. Monthly 75, 725-729, 1968.Guy, R. K. "Solutions of d(n)=d(n+1)." §B18 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 73-75, 1994.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 43, 1983.Lebensold, K. "A Divisibility Problem." Studies Appl. Math. 56, 291-294, 1976/1977.Minin, A. P. Math. Soc. Moscow 11, 632, 1883-84.Nagell, T. "Divisors." §1 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 11-12, 1951.Roberts, J. The Lure of the Integers. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A005179/M1026 and A027750 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上被引用

除数

请引用为

Weisstein, Eric W. “除数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Divisor.html

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