除数 -- 来自 - 数学天地

一个数的除数，也称为因子，是一个可以整除的数 (记作 )。对于整数，通常只考虑正除数，但显然任何正除数的负数本身也是一个除数。给定整数的（正）除数列表可以通过 Wolfram 语言函数返回除数[n]。

求和与求积通常只针对给定数字的除数的值的子集进行。这样的总和将表示为，例如，

(1)

这些求和在 Wolfram 语言中实现为DivisorSum[n, form, cond]。

下表列出了前几个正整数的除数 (OEIS A027750)。

	除数
1	1
2	1, 2
3	1, 3
4	1, 2, 4
5	1, 5
6	1, 2, 3, 6
7	1, 7
8	1, 2, 4, 8
9	1, 3, 9
10	1, 2, 5, 10
11	1, 11
12	1, 2, 3, 4, 6, 12
13	1, 13
14	1, 2, 7, 14
15	1, 3, 5, 15

给定数字的除数的总数（可以写为 , , 或 ) 可以按如下方式找到。将数字写成其素因数分解的形式

(2)

对于的任何除数，其中

(3)

所以

(4)

现在，，所以有个可能的值。类似地，对于，有个可能的值，因此的除数的总数由下式给出

(5)

除数的乘积可以通过将数字写成所有可能的乘积来找到

$n={d^((1))d^('(1)); |; d^((nu))d^('(nu)),$

(6)

所以

			(7)
			(8)
			(9)

和

(10)

除数的几何平均值是

			(11)
			(12)
			(13)

算术平均值是

(14)

调和平均值是

(15)

但是，所以并且

			(16)
			(17)
			(18)

我们有

(19)

(20)

给定三个随机选择的整数，它们没有公约数的概率是

(21)

其中是 Apéry 常数。

恰好有 0、1、2、... 个除数（除了 1 之外）的最小数字是 1、2、4、6、16、12、64、24、36、... (OEIS A005179; Minin 1883-84; Grost 1968; Roberts 1992, p. 86; Dickson 2005, pp. 51-52)。 Fontené (1902) 和 Chalde (1903) 表明，如果是除数个数为给定值的最小数字的素因数分解，则 (1) 是素数，(2) 是素数，但数字（有 8 个除数）除外 (Dickson 2005, p. 52)。