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Tau 函数

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TauFunction

函数 tau(n) 与 除数函数 sigma_k(n) 相关，有时也称为拉马努金 Tau 函数。它通过 傅里叶级数 定义，模判别式 Delta(tau) 对于 tau in H，其中 H 是 上半平面，由下式给出

Delta(tau)=(2pi)^(12)sum_(n=1)^inftytau(n)e^(2piintau)
(1)

(Apostol 1997, p. 20)。Tau 函数也由 柯西乘积 给出

tau(n)=8000{(sigma_3 degreessigma_3) degreessigma_3}(n)-147(sigma_5 degreessigma_5)(n)
(2)
=(65)/(756)sigma_(11)(n)+(691)/(756)sigma_5(n)-(691)/3sum_(k=1)^(n-1)sigma_5(k)sigma_5(n-k),
(3)

其中 sigma_k(n) 是 除数函数 (Apostol 1997, pp. 24 and 140)，sigma_3(0)=1/240，以及 sigma_5(0)=-1/504。

Tau 函数具有 生成函数

G(x)=sum_(n=1)^(infty)tau(n)x^n
(4)
=xproduct_(n=1)^(infty)(1-x^n)^(24)
(5)
=x(x)_infty^(24)
(6)
=x-24x^2+252x^3-1472x^4+4830x^5-6048x^6+...
(7)
=x(1-3x+5x^3-7x^6+...)^8,
(8)

其中 (q)_infty=(q;q)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号。前几个值是 1， -24， 252， -1472， 4830， ... (OEIS A000594)。Tau 函数由 Wolfram 语言 函数给出RamanujanTau[n]。

级数

f(s)=sum_(n=1)^infty(tau(n))/(n^s),
(9)

被称为 Tau Dirichlet 级数。

Lehmer (1947) 推测对于所有 n，tau(n)!=0，这一断言有时被称为 Lehmer 猜想。Lehmer 验证了 n<214928639999 的猜想 (Apostol 1997, p. 22)。下表总结了在找到满足此条件的 n 的连续更大值的进展。

n参考文献
3316799Lehmer (1947)
214928639999Lehmer (1949)
10^(15)Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
1213229187071998Jennings (1993)
22689242781695999Jordan and Kelly (1999)
22798241520242687999Bosman (2007)

拉马努金给出了计算高效的三角递推公式

(n-1)tau(n)=sum_(m=1)^(b_n)(-1)^(m+1)(2m+1)×[n-1-9/2m(m+1)]tau(n-1/2m(m+1)),
(10)

其中

b_n=1/2(sqrt(8n+1)-1)
(11)

(Lehmer 1943; Jordan and Kelly 1999)，它可以与公式递归使用

tau(p^n)=sum_(j=0)^(|_n/2_|)(-1)^j(n-j; n-2j)p^(11j)[tau(p)]^(n-2j)
(12)

(Gandhi 1961, Jordan and Kelly 1999)。

Ewell (1999) 给出了优美的公式

tau(4n+2)=-3sum_(k=1)^(2n+1)2^(3b(2k))sigma_3(Od(2k))
(13)
×sum_(j=0)^(4n-2k+2)(-1)^jr_8(4n+2-2k-j)r_8(j)
(14)
sum_(k=1)^(n)2^(3b(2k))sigma_3(Od(2k))
(15)
×sum_(j=0)^(2n+1-2k)(-1)^jr_8(2n+1-2k-j)r_8(j)=0
(16)
tau(4m)=-2^(11)tau(m)-3sum_(k=1)^(2m)2^(3b(2k))sigma_3(Od(2k))
(17)
×sum_(j=0)^(4m-2k)(-1)^jr_8(4m-2k-j)r_8(j)
(18)
tau(2n+1)=sum_(k=1)^(2n+1)2^(3[b(2k)-1])sigma_3(Od(2k))
(19)
×sum_(j=0)^(2n+2-2k)(-1)^jr_8(3n+2-2k-j)r_8(j),
(20)

其中 b(n) 是 2 的精确幂的指数，它整除 n，Od(n) 是 奇数部分 n，sigma_k(n) 是 除数函数 n，并且 r_k(n) 是 平方和函数。

对于 素数 p,

tau(p^(n+1))=tau(p)tau(p^n)-p^(11)tau(p^(n-1))
(21)

对于 n>=1，并且

tau(p^alphan)=tau(p)tau(p^(alpha-1)n)-p^(11)tau(p^(alpha-2)n)
(22)

对于 alpha>=2 和 (n,p)=1 (Mordell 1917; Apostol 1997, p. 92)。

拉马努金推测，Mordell (1917) 证明如果 (n,n^')=1，则

tau(nn^')=tau(n)tau(n^')
(23)

(Hardy 1999, p. 161)。更一般地，

tau(n)tau(n^')=sum_(d|(n,n^'))d^(11)tau((nn^')/(d^2)),
(24)

如果 (n,n^')=1 (Mordell 1917; Apostol 1997, p. 93)，则它简化为第一种形式。

拉马努金 (1920) 表明

tau(2n)=0 (mod 2)
(25)
tau(3n)=0 (mod 3)
(26)
tau(5n)=0 (mod 5)
(27)

(Darling 1921; Wilton 1930),

tau(7n+m)=0 (mod 7)
(28)

对于 m=0 或 7 的二次非剩余，即 3、5、6，以及

tau(23n+m)=0 (mod 23)
(29)

对于 23 的二次非剩余之一，即 5、7、10、11、14、15、17、19、20、21、22 (Mordell 1922; Wilton 1930)。Ewell (1999) 表明

tau(4n)=tau(n) (mod 3).
(30)

拉马努金推测，Watson 证明 tau(n) 对于几乎所有 n 都能被 691 整除，具体来说

tau(n)=sigma_(11)(n) (mod 691),
(31)

其中 sigma_k(n) 是 除数函数 (Wilton 1930; Apostol 1997, pp. 93 and 140; Jordan and Kelly 1999)，而 691 是 分子 伯努利数 B_(12)。

其他同余式包括

tau(n)=sigma_(11)(n) (mod 2^8) for n odd
(32)
tau(n)=n^2sigma_7(n) (mod 3^3)
(33)
tau(n)=nsigma_9(n) (mod 5^2)
(34)
tau(n)=nsigma_3(n) (mod 7)
(35)
tau(n)=sigma_(11)(n) (mod 691)
(36)
tau(n)={sigma_(11)(n) (mod 2^(11)) if n=1 (mod 8); 1217sigma_(11)(n) (mod 2^(13)) if n=3 (mod 8); 1537sigma_(11)(n) (mod 2^(12)) if n=5 (mod 8); 705sigma_(11)(n) (mod 2^(14)) if n=7 (mod 8)
(37)
tau(n)=n^(-610)sigma_(1231)(n){ (mod 3^6) if n=1 (mod 3); (mod 3^7) if n=2 (mod 3)
(38)
tau(n)=n^(-30)sigma_(71)(n) if GCD(n,5)=1
(39)
tau(n)=nsigma_9(n){ (mod 7) if n=0, 1, 2, or 4 (mod 7); (mod 7^2) if n=3, 5, or 6 (mod 7)
(40)
tau(p)={0 (mod 23) if (p/23)=-1; 2 (mod 23) if p=u^2+23v^2 with u!=0, v; -1 (mod 23) for other p!=23,
(41)

其中 sigma_k(n) 是 除数函数 (Swinnerton-Dyer 1988, Jordan and Kelly 1999)。

根据拉马努金的说法，tau(n) 几乎总是能被 2^5·3^3·5^2·7^2·23·691 整除。事实上，Serre 已经表明 tau(n) 几乎总是能被任何整数整除 (Andrews et al. 1988)。

求和 Tau 函数由下式给出

T(n)=sum^'_(n<=x)tau(n).
(42)

这里，撇号表示当 x 是一个 整数 时，最后一项 tau(x) 应替换为 1/2tau(x)。

另请参阅

Dedekind Eta 函数, j-函数, Leech 格, Ore 猜想, 划分函数 P, Tau 猜想, Tau Dirichlet 级数, Tau 函数 Prime

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参考文献

Andrews, G. E.; Berndt, B. C.; and Rankin, R. A. (Eds.). Ramanujan Revisited: Proceedings of the Centenary Conference, University of Illinois at Urbana-Champaign, June 1-5, 1987 New York: Academic Press, 1988.Apostol, T. M. Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1997.Charles, C. D. "Computing the Ramanujan Tau Function." http://www.cs.wisc.edu/~cdx/.Darling, H. B. C. Proc. London Math. Soc. 19, 350-372, 1921.Ewell, J. A. "New Representations of Ramanujan's Tau Function." Proc. Amer. Math. Soc. 128, 723-726, 1999.Gandhi, J. M. "The Nonvanishing of Ramanujan's tau-Function." Amer. Math. Monthly 68, 757-760, 1961.Hardy, G. H. "Ramanujan's Function tau(n)." Ch. 10 in Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, pp. 63 and 161-185, 1999.Jennings, D. Ph.D. thesis. Southampton, 1993.Jordan, B. and Kelly, B. III. "The Vanishing of the Ramanujan Tau Function." Preprint, 12 Mar 1999.Keiper, J. "On the Zeros of the Ramanujan tau-Dirichlet Series in the Critical Strip." Math. Comput. 65, 1613-1619, 1996.LeVeque, W. J. §F35 in Reviews in Number Theory 1940-1972. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974.Lehmer, D. H. "Ramanujan's Function tau(n)." Duke Math. J. 10, 483-492, 1943.Lehmer, D. H. "The Vanishing of Ramanujan's Function tau(n)." Duke Math. J. 14, 429-433, 1947.Moreno, C. J. "A Necessary and Sufficient Condition for the Riemann Hypothesis for Ramanujan's Zeta Function." Illinois J. Math. 18, 107-114, 1974.Mordell, L. J. "On Mr. Ramanujan's Empirical Expansions of Modular Functions." Proc. Cambridge Phil. Soc. 19, 117-124, 1917.Mordell, L. J. "Note on Certain Modular Relations Considered by Messrs Ramanujan, Darling, and Rogers." Proc. London Math. Soc. 20, 408-416, 1922.Ramanujan, S. Proc. London Math. Soc. 18, 1920.Ramanujan, S. "Congruence Properties of Partitions." Math. Z. 9, 147-153, 1921.Serre, J.-P. A Course in Arithmetic. New York: Springer-Verlag, 1973.Serre, J.-P. "Sur la Lacunatité des Puissances de eta." Glasgow Math. J. 27, 203-221, 1985.Sivaramakrishnan, R. Classical Theory of Arithmetic Functions. New York: Dekker, pp. 275-278, 1989.Sloane, N. J. A. Sequence A000594/M5153 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spira, R. "Calculation of the Ramanujan Tau-Dirichlet Series." Math. Comput. 27, 379-385, 1973.Stanley, G. K. "Two Assertions Made by Ramanujan." J. London Math. Soc. 3, 232-237, 1928.Stanley, G. K. Corrigendum to "Two Assertions Made by Ramanujan." J. London Math. Soc. 4, 32, 1929.Swinnerton-Dyer, H. P. F. "Congruence Properties of tau(n)." In Ramanujan Revisited: Proceedings of the Centenary Conference, University of Illinois at Urbana-Champaign, June 1-5, 1987 (Ed. G. E. Andrews, B. C. Berndt, and R. A. Rankin). New York: Academic Press, 1988.Watson, G. N. "Über Ramanujansche Kongruenzeigenschaften der Zerfällungsanzahlen." Math. Z. 39, 712-731, 1935.Wilton, J. R. "Congruence Properties of Ramanujan's Function tau(n)." Proc. London Math. Soc. 31, 1-17, 1930.Yoshida, H. "On Calculations of Zeros of L-Functions Related with Ramanujan's Discriminant Function on the Critical Line." J. Ramanujan Math. Soc. 3, 87-95, 1988.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Tau 函数

请这样引用

Weisstein, Eric W. “Tau 函数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TauFunction.html

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