梅森素数

梅森素数是一个 梅森数，即形如

且为 素数 的数。为了使 为 素数， 本身必须是 素数。这是正确的，因为对于 合数 ，其因子为 和 ，。因此， 可以写成 ，这是一个 二项式数，它总是有一个因子 。

前几个梅森素数是 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, ... (OEIS A000668)，对应的指数为 , 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ... (OEIS A000043)。

梅森素数最初被研究是因为每个梅森素数都与一个 完全数 精确对应，这一性质非常 remarkable。L. Welsh 维护着一个关于梅森数的广泛的参考书目和历史记录。

据推测，存在无限个梅森素数。将一条穿过原点的直线拟合到前 51 个（已知的）梅森素数 的渐近数量，其中 ，得到最佳拟合线为 ，如上所示。如果该直线不限制为穿过原点，则最佳拟合为 。据推测（没有任何特别有力的证据），常数由 给出，其中 是 欧拉-马歇罗尼常数 (Havil 2003, p. 116; Caldwell)，这是一个与 Wagstaff 猜想 相关的结果。

然而，寻找梅森素数在计算上非常具有挑战性。例如，1963 年发现 是素数的消息，由伊利诺伊州厄巴纳发行的一种特殊的邮资计价器设计来宣告，如上所示。

G. Woltman 通过互联网组织了一个名为 GIMPS（互联网梅森素数大搜索）的分布式搜索程序，其中数百名志愿者使用他们的个人电脑来执行搜索的一部分工作。GIMPS 志愿者的努力使得这个分布式计算项目成为自 1996 年末以来发现的所有梅森素数的发现者。截至 2024 年 10 月 21 日，GIMPS 参与者已经测试并验证了所有低于 6900 万的指数，并且至少测试了一次所有低于 1.24 亿的指数 (GIMPS)。

下表给出了已知梅森素数 (OEIS A000043) 的指数 ，以及位数、发现年份和发现者。C. Caldwell 也编制了一个类似的表格。请注意，对于 ，在 M_(48) 和 M_(49) 之间的所有指数（即高达 ）都被验证为合数之前，“第” 个梅森素数的顺序索引是暂定的。因此，对于更大的已知梅森素数 、 和 ，排名索引也是暂定的。

#		位数	年份	发现者（参考文献）	值
1	2	1	古代		3
2	3	1	古代		7
3	5	2	古代		31
4	7	3	古代		127
5	13	4	1461	Reguis (1536), Cataldi (1603)	8191
6	17	6	1588	Cataldi (1603)	131071
7	19	6	1588	Cataldi (1603)	524287
8	31	10	1750	Euler (1772)	2147483647
9	61	19	1883	Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)	2305843009213693951
10	89	27	1911	Powers (1911)	618970019642690137449562111
11	107	33	1913	Powers (1914)	162259276829213363391578010288127
12	127	39	1876	Lucas (1876)	170141183460469231731687303715884105727
13	521	157	1 月 30 日, 1952 年	Robinson (1954)	68647976601306097149...12574028291115057151
14	607	183	1 月 30 日, 1952 年	Robinson (1954)	53113799281676709868...70835393219031728127
15	1279	386	6 月 25 日, 1952 年	Robinson (1954)	10407932194664399081...20710555703168729087
16	2203	664	10 月 7 日, 1952 年	Robinson (1954)	14759799152141802350...50419497686697771007
17	2281	687	10 月 9 日, 1952 年	Robinson (1954)	44608755718375842957...64133172418132836351
18	3217	969	9 月 8 日, 1957 年	Riesel	25911708601320262777...46160677362909315071
19	4253	1281	11 月 3 日, 1961 年	Hurwitz	19079700752443907380...76034687815350484991
20	4423	1332	11 月 3 日, 1961 年	Hurwitz	28554254222827961390...10231057902608580607
21	9689	2917	5 月 11 日, 1963 年	Gillies (1964)	47822027880546120295...18992696826225754111
22	9941	2993	5 月 16 日, 1963 年	Gillies (1964)	34608828249085121524...19426224883789463551
23	11213	3376	6 月 2 日, 1963 年	Gillies (1964)	28141120136973731333...67391476087696392191
24	19937	6002	3 月 4 日, 1971 年	Tuckerman (1971)	43154247973881626480...36741539030968041471
25	21701	6533	10 月 30 日, 1978 年	Noll and Nickel (1980)	44867916611904333479...57410828353511882751
26	23209	6987	2 月 9 日, 1979 年	Noll (Noll and Nickel 1980)	40287411577898877818...36743355523779264511
27	44497	13395	4 月 8 日, 1979 年	Nelson and Slowinski	85450982430363380319...44867686961011228671
28	86243	25962	9 月 25 日, 1982 年	Slowinski	53692799550275632152...99857021709433438207
29	110503	33265	1 月 28 日, 1988 年	Colquitt and Welsh (1991)	52192831334175505976...69951621083465515007
30	132049	39751	9 月 20 日, 1983 年	Slowinski	51274027626932072381...52138578455730061311
31	216091	65050	9 月 6 日, 1985 年	Slowinski	74609310306466134368...91336204103815528447
32	756839	227832	2 月 19 日, 1992 年	Slowinski and Gage	17413590682008709732...02603793328544677887
33	859433	258716	1 月 10 日, 1994 年	Slowinski and Gage	12949812560420764966...02414267243500142591
34	1257787	378632	9 月 3 日, 1996 年	Slowinski and Gage	41224577362142867472...31257188976089366527
35	1398269	420921	11 月 12 日, 1996 年	Joel Armengaud/GIMPS	81471756441257307514...85532025868451315711
36	2976221	895832	8 月 24 日, 1997 年	Gordon Spence/GIMPS	62334007624857864988...76506256743729201151
37	3021377	909526	1 月 27 日, 1998 年	Roland Clarkson/GIMPS	12741168303009336743...25422631973024694271
38	6972593	2098960	6 月 1 日, 1999 年	Nayan Hajratwala/GIMPS	43707574412708137883...35366526142924193791
39	13466917	4053946	11 月 14 日, 2001 年	Michael Cameron/GIMPS	92494773800670132224...30073855470256259071
40	20996011	6320430	11 月 17 日, 2003 年	Michael Shafer/GIMPS	12597689545033010502...94714065762855682047
41	24036583	7235733	5 月 15 日, 2004 年	Josh Findley/GIMPS	29941042940415717208...67436921882733969407
42	25964951	7816230	2 月 18 日, 2005 年	Martin Nowak/GIMPS	12216463006127794810...98933257280577077247
43	30402457	9152052	12 月 15 日, 2005 年	Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS	31541647561884608093...11134297411652943871
44	32582657	9808358	9 月 4 日, 2006 年	Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS	12457502601536945540...11752880154053967871
45	37156667	11185272	9 月 6 日, 2008 年	Hans-Michael Elvenich/GIMPS	20225440689097733553...21340265022308220927
46	42643801	12837064	6 月 12 日, 2009 年	Odd Magnar Strindmo/GIMPS	16987351645274162247...84101954765562314751
47	43112609	12978189	8 月 23 日, 2008 年	Edson Smith/GIMPS	31647026933025592314...80022181166697152511
48	57885161	17425170	1 月 25 日, 2013 年	Curtis Cooper/GIMPS	58188726623224644217...46141988071724285951
49?	74207281	22338618	1 月 7 日, 2016 年	Curtis Cooper/GIMPS	30037641808460618205...87010073391086436351
50?	77232917	23249425	12 月 26 日, 2017 年	Jonathan Pace/GIMPS	46733318335923109998...82730618069762179071
51?	82589933	24862048	12 月 7 日, 2018 年	Patrick Laroche/GIMPS	14889444574204132554...37951210325217902591
52?	136279841	41024320	10 月 12 日, 2024 年	Luke Durant/GIMPS	88169432750383326555...55076706219486871551

试除法 通常用于确定潜在梅森素数的合数性。此测试立即显示 对于 、23、83、131、179、191、239 和 251 是 合数（小因子分别为 23、47、167、263、359、383、479 和 503）。对于 ，更强大的素性测试是 Lucas-Lehmer 检验。

如果 是一个 素数，那么 整除 当且仅当 是 素数。同样正确的是，素数 因子 必须具有 的形式，其中 是一个 正整数，并且同时具有 或 的形式 (Uspensky and Heaslet 1939)。

梅森数 的 素数 因子 是 Wieferich 素数 当且仅当 。因此，梅森素数不是 Wieferich 素数。