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第一类贝塞尔函数

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BesselJ

第一类贝塞尔函数 J_n(x) 被定义为 贝塞尔微分方程 的解

x^2(d^2y)/(dx^2)+x(dy)/(dx)+(x^2-n^2)y=0
(1)

这些解在原点处是非奇异的。它们有时也被称为柱函数或柱谐函数。 上图显示了 J_n(x)，当 n=0, 1, 2, ..., 5 时。 符号 J_(z,n) 最初由 Hansen (1843) 使用，随后 Schlömilch (1857) 也使用该符号来表示现在写作的 J_n(2z) (Watson 1966, p. 14)。 然而，Hansen 对函数本身的定义，以 生成函数 的形式给出

e^(z(t-1/t)/2)=sum_(n=-infty)^inftyt^nJ_n(z).
(2)

与现代定义相同 (Watson 1966, p. 14)。 贝塞尔使用符号 I_k^h 来表示现在称为第一类贝塞尔函数的函数 (Cajori 1993, vol. 2, p. 279)。

贝塞尔函数 J_n(z) 也可以通过 轮廓积分 定义

J_n(z)=1/(2pii)∮e^((z/2)(t-1/t))t^(-n-1)dt,
(3)

其中轮廓包围原点，并沿逆时针方向遍历 (Arfken 1985, p. 416)。

第一类贝塞尔函数在 Wolfram 语言 中实现为BesselJ[ν, z]。

为了求解微分方程，应用 弗罗贝尼乌斯方法，使用 形式为 的级数解

y=x^ksum_(n=0)^inftya_nx^n=sum_(n=0)^inftya_nx^(n+k).
(4)

代入 (1) 得到

x^2sum_(n=0)^infty(k+n)(k+n-1)a_nx^(k+n-2)+xsum_(n=0)^infty(k+n)a_nx^(k+n-1)+x^2sum_(n=0)^inftya_nx^(k+n)-m^2sum_(n=0)^inftya_nx^(n+k)=0
(5)
sum_(n=0)^infty(k+n)(k+n-1)a_nx^(k+n)+sum_(n=0)^infty(k+n)a_nx^(k+n) +sum_(n=2)^inftya_(n-2)x^(k+n)-m^2sum_(n=0)^inftya_nx^(n+k)=0.
(6)

指标方程，通过设置 n=0 获得，为

a_0[k(k-1)+k-m^2]=a_0(k^2-m^2)=0.
(7)

由于 a_0 被定义为第一个 非零 项，k^2-m^2=0，所以 k=+/-m。现在，如果 k=m,

sum_(n=0)^infty[(m+n)(m+n-1)+(m+n)-m^2]a_nx^(m+n)+sum_(n=2)^inftya_(n-2)x^(m+n)=0
(8)
sum_(n=0)^infty[(m+n)^2-m^2]a_nx^(m+n)+sum_(n=2)^inftya_(n-2)x^(m+n)=0
(9)
sum_(n=0)^inftyn(2m+n)a_nx^(m+n)+sum_(n=2)^inftya_(n-2)x^(m+n)=0
(10)
a_1(2m+1)x^(m+1)+sum_(n=2)^infty[a_nn(2m+n)+a_(n-2)]x^(m+n)=0.
(11)

首先，查看特殊情况 m=-1/2，那么 (11) 变为

sum_(n=2)^infty[a_nn(n-1)+a_(n-2)]x^(m+n)=0,
(12)

所以

a_n=-1/(n(n-1))a_(n-2).
(13)

现在令 n=2l，其中 l=1, 2, ....

a_(2l)=-1/(2l(2l-1))a_(2l-2)
(14)
=((-1)^l)/([2l(2l-1)][2(l-1)(2l-3)]...[2·1·1])a_0
(15)
=((-1)^l)/(2^ll!(2l-1)!!)a_0,
(16)

它使用恒等式 2^ll!(2l-1)!!=(2l)!，给出

a_(2l)=((-1)^l)/((2l)!)a_0.
(17)

类似地，令 n=2l+1,

a_(2l+1)=-1/((2l+1)(2l))a_(2l-1)=((-1)^l)/([2l(2l+1)][2(l-1)(2l-1)]...[2·1·3][1])a_1,
(18)

它使用恒等式 2^ll!(2l+1)!!=(2l+1)!，给出

a_(2l+1)=((-1)^l)/(2^ll!(2l+1)!!)a_1=((-1)^l)/((2l+1)!)a_1.
(19)

代回到 (◇) 中，当 k=m=-1/2 时，得到

y=x^(-1/2)sum_(n=0)^(infty)a_nx^n
(20)
=x^(-1/2)[sum_(n=1,3,5,...)^(infty)a_nx^n+sum_(n=0,2,4,...)^(infty)a_nx^n]
(21)
=x^(-1/2)[sum_(l=0)^(infty)a_(2l)x^(2l)+sum_(l=0)^(infty)a_(2l+1)x^(2l+1)]
(22)
=x^(-1/2)[a_0sum_(l=0)^(infty)((-1)^l)/((2l)!)x^(2l)+a_1sum_(l=0)^(infty)((-1)^l)/((2l+1)!)x^(2l+1)]
(23)
=x^(-1/2)(a_0cosx+a_1sinx).
(24)

阶数为 +/-1/2 的 贝塞尔函数 因此被定义为

J_(-1/2)(x)=sqrt(2/(pix))cosx
(25)
J_(1/2)(x)=sqrt(2/(pix))sinx,
(26)

所以 m=+/-1/2 的通解为

y=a_0^'J_(-1/2)(x)+a_1^'J_(1/2)(x).
(27)

现在，考虑一般情况 m!=-1/2。方程 (◇) 要求

a_1(2m+1)=0
(28)
[a_nn(2m+n)+a_(n-2)]x^(m+n)=0
(29)

对于 n=2, 3, ..., 所以

a_1=0
(30)
a_n=-1/(n(2m+n))a_(n-2)
(31)

对于 n=2, 3, .... 令 n=2l+1，其中 l=1, 2, ..., 那么

a_(2l+1)=-1/((2l+1)[2(m+l)+1])a_(2l-1)
(32)
=...=f(n,m)a_1=0,
(33)

其中 f(n,m) 是 l 和 m 的函数，通过迭代递归关系到 a_1 获得。现在令 n=2l，其中 l=1, 2, ..., 所以

a_(2l)=-1/(2l(2m+2l))a_(2l-2)
(34)
=-1/(4l(m+l))a_(2l-2)
(35)
=((-1)^l)/([4l(m+l)][4(l-1)(m+l-1)]...[4·(m+1)])a_0.
(36)

代回到 (◇) 中，

y=sum_(n=0)^(infty)a_nx^(n+m)=sum_(n=1,3,5,...)^(infty)a_nx^(n+m)+sum_(n=0,2,4,...)^(infty)a_nx^(n+m)
(37)
=sum_(l=0)^(infty)a_(2l+1)x^(2l+m+1)+sum_(l=0)^(infty)a_(2l)x^(2l+m)
(38)
=a_0sum_(l=0)^(infty)((-1)^l)/([4l(m+l)][4(l-1)(m+l-1)]...[4(m+1)])x^(2l+m)
(39)
=a_0sum_(l=0)^(infty)([(-1)^lm(m-1)...1]x^(2l+m))/([4l(m+l)][4(l-1)(m+l-1)]...[4(m+1)m...1])
(40)
=a_0sum_(l=0)^(infty)((-1)^lm!)/(2^(2l)l!(m+l)!)x^(2l+m).
(41)

现在定义

J_m(x)=sum_(l=0)^infty((-1)^l)/(2^(2l+m)l!(m+l)!)x^(2l+m),
(42)

其中阶乘可以推广到非整数 m 的 伽玛函数。上面的方程变为

y=a_02^mm!J_m(x)=a_0^'J_m(x).
(43)

回到方程 (◇) 并检查情况 k=-m,

a_1(1-2m)+sum_(n=2)^infty[a_nn(n-2m)+a_(n-2)]x^(n-m)=0.
(44)

然而，m 的符号是任意的，因此对于 +m 和 -m，解必须相同。因此，我们可以自由地用 -|m| 替换 -m，所以

a_1(1+2|m|)+sum_(n=2)^infty[a_nn(n+2|m|)+a_(n-2)]x^(|m|+n)=0,
(45)

我们得到与之前相同的解，但 m 被 |m| 替换。

J_m(x)={sum_(l=0)^(infty)((-1)^l)/(2^(2l+|m|)l!(|m|+l)!)x^(2l+|m|) for |m|!=1/2; sqrt(2/(pix))cosx for m=-1/2; sqrt(2/(pix))sinx for m=1/2.
(46)

我们可以通过写入以下公式来关联 J_m(x) 和 J_(-m)(x) (当 m 是一个 整数 时)

J_(-m)(x)=sum_(l=0)^infty((-1)^l)/(2^(2l-m)l!(l-m)!)x^(2l-m).
(47)

现在令 l=l^'+m。那么

J_(-m)(x)=sum_(l^'+m=0)^(infty)((-1)^(l^'+m))/(2^(2l^'+m)(l^'+m)!l!)x^(2l^'+m)
(48)
=sum_(l^'=-m)^(-1)((-1)^(l^'+m))/(2^(2l^'+m)l^'!(l^'+m)!)x^(2l^'+m)+sum_(l^'=0)^(infty)((-1)^(l^'+m))/(2^(2l^'+m)l^'!(l^'+m)!)x^(2l^'+m).
(49)

但是对于 l^'=-m,...,-1，l^'!=infty，所以 分母 是无穷大，左侧的项为零。因此我们有

J_(-m)(x)=sum_(l=0)^(infty)((-1)^(l+m))/(2^(2l+m)l!(l+m)!)x^(2l+m)
(50)
=(-1)^mJ_m(x).
(51)

请注意，贝塞尔微分方程 是 二阶 的，因此必须有两个线性独立的解。我们只为 |m|=1/2 找到了两个解。对于一般的非整数阶，独立的解是 J_m 和 J_(-m)。当 m 是一个 整数 时，通解（实数解）是 形式为

Z_m=C_1J_m(x)+C_2Y_m(x),
(52)

其中 J_m 是第一类贝塞尔函数，Y_m (又名 N_m) 是 第二类贝塞尔函数 (又名诺伊曼函数或韦伯函数)，C_1 和 C_2 是常数。复数解由 汉克尔函数 (又名第三类贝塞尔函数) 给出。

贝塞尔函数在 [0,a] 中是 正交的，根据

int_0^aJ_nu(alpha_(num)rho/a)J_nu(alpha_(nun)rho/a)rhodrho=1/2a^2[J_(nu+1)(alpha_(num))]^2delta_(mn),
(53)

其中 alpha_(num) 是 mth 个 Jnu 零点，delta_(mn) 是 克罗内克 delta (Arfken 1985, p. 592)。

除非 2m 是一个 负整数，

J_m(z)=(z^(-1/2))/(2^(2m+1/2)i^(m+1/2)Gamma(m+1))M_(0,m)(2iz),
(54)

其中 Gamma(x) 是 伽玛函数，M_(0,m) 是一个 惠特克函数。

用 第一类合流超几何函数 表示，贝塞尔函数写为

J_nu(z)=((1/2z)^nu)/(Gamma(nu+1))_0F_1(nu+1;-1/4z^2).
(55)

一个用于用 J_0(z) 表示更高阶贝塞尔函数的导数恒等式是

J_n(z)=i^nT_n(id/(dz))J_0(z),
(56)

其中 T_n(z) 是 第一类切比雪夫多项式。贝塞尔函数的渐近形式为

J_m(z) approx 1/(Gamma(m+1))(z/2)^m
(57)

对于 z<<1 和

J_m(z) approx sqrt(2/(piz))cos(z-(mpi)/2-pi/4)
(58)

对于 z>>|m^2-1/4| (修正了 Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 364 的条件)。

一个导数恒等式是

d/(dx)[x^mJ_m(x)]=x^mJ_(m-1)(x).
(59)

一个积分恒等式是

int_0^uu^'J_0(u^')du^'=uJ_1(u).
(60)

一些求和恒等式是

sum_(k=-infty)^inftyJ_k(x)=1
(61)

(这从生成函数 (◇) 和 t=1 得出),

1=[J_0(x)]^2+2sum_(k=1)^infty[J_k(x)]^2
(62)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 363),

1=J_0(x)+2sum_(k=1)^inftyJ_(2k)(x)
(63)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 361),

0=sum_(k=0)^(2n)(-1)^kJ_k(z)J_(2n-k)(z)+2sum_(k=1)^inftyJ_k(z)J_(2n+k)(z)
(64)

对于 n>=1 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 361),

J_n(2z)=sum_(k=0)^nJ_k(z)J_(n-k)(z)+2sum_(k=1)^infty(-1)^kJ_k(z)J_(n+k)(z)
(65)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 361), 和 雅可比-安格尔展开

e^(izcostheta)=sum_(n=-infty)^inftyi^nJ_n(z)e^(intheta),
(66)

也可以写成

e^(izcostheta)=J_0(z)+2sum_(n=1)^inftyi^nJ_n(z)cos(ntheta).
(67)

贝塞尔函数加法定理指出

J_n(y+z)=sum_(m=-infty)^inftyJ_m(y)J_(n-m)(z).
(68)

各种积分可以用贝塞尔函数表示

J_n(z)=1/piint_0^picos(zsintheta-ntheta)dtheta,
(69)

这是 贝塞尔第一积分,

J_n(z)=(i^(-n))/piint_0^pie^(izcostheta)cos(ntheta)dtheta
(70)
J_n(z)=1/(2pii^n)int_0^(2pi)e^(izcosphi)e^(inphi)dphi
(71)

对于 n=1, 2, ...,

J_n(z)=2/pi(z^n)/((2n-1)!!)int_0^(pi/2)sin^(2n)ucos(zcosu)du
(72)

对于 n=1, 2, ...,

J_n(x)=1/(2pii)int_gammae^((x/2)(z-1/z))z^(-n-1)dz
(73)

对于 n>-1/2。贝塞尔函数被归一化，使得

int_0^inftyJ_n(x)dx=1
(74)

对于正整数（和实数） n。涉及 J_1(x) 的积分包括

int_0^infty[(J_1(x))/x]^2dx=4/(3pi)
(75)
int_0^infty[(J_1(x))/x]^2xdx=1/2.
(76)

第一类贝塞尔函数的比率具有 连分数

(J_(n-1)(z))/(J_n(z))=(2n)/z-(z/(2(n+1)))/(1-(((z/2)^2)/((n+1)(n+2)))/((1-((z/2)^2)/((n+2)(n+3)))/(1-...)))
(77)

(Wall 1948, p. 349)。

BesselJ0ReIm
BesselJ0Contours

特殊情况 n=0 给出 J_0(z) 作为级数

J_0(z)=sum_(k=0)^infty(-1)^k((1/4z^2)^k)/((k!)^2)
(78)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 360), 或积分

J_0(z)=1/piint_0^pie^(izcostheta)dtheta.
(79)

参见

第二类贝塞尔函数, 贝塞尔函数零点, 德拜渐近表示, 狄克逊-费拉公式, 汉森-贝塞尔公式, 卡普坦级数, 克内泽尔-索末菲公式, 梅勒贝塞尔函数公式, 第一类修正贝塞尔函数, 第二类修正贝塞尔函数, 尼科尔森公式, 泊松贝塞尔函数公式, 瑞利函数, 施莱夫利公式, 施勒米尔希级数, 索末菲公式, 索宁-沙夫海特林公式, 沃森公式, 沃森-尼科尔森公式, 韦伯不连续积分, 韦伯公式, 韦伯-索宁公式, 韦里希公式 在 MathWorld 课堂中探索此主题

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselJ/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "贝塞尔函数 J 和 Y." §9.1 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约: Dover, pp. 358-364, 1972.Arfken, G. "第一类贝塞尔函数，J_nu(x)" 和 "正交性." §11.1 和 11.2 in 物理学家数学方法，第 3 版。 奥兰多, FL: Academic Press, pp. 573-591 和 591-596, 1985.Cajori, F. 数学符号史，第 1-2 卷。 纽约: Dover, 1993.Hansen, P. A. "确定任意偏心率和倾角椭圆中的绝对扰动，I." Schriften der Sternwarte Seeberg. 哥达, 1843.Lehmer, D. H. "贝塞尔函数的算术周期性." 数学年刊 33, 143-150, 1932.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. 巴黎: Hermann, 1983.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理方法，第一部分。 纽约: McGraw-Hill, pp. 619-622, 1953.Schlömilch, O. X. "关于贝塞尔函数." Z. für Math. u. Phys. 2, 137-165, 1857.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "贝塞尔系数 J_0(x) 和 J_1(x)" 和 "贝塞尔函数 J_nu(x)." 第 52-53 章 in 函数图集。 华盛顿特区: Hemisphere, pp. 509-520 和 521-532, 1987.Wall, H. S. 连分数解析理论。 纽约: Chelsea, 1948.Watson, G. N. 贝塞尔函数理论专著，第 2 版。 剑桥，英格兰: 剑桥大学出版社, 1966.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

第一类贝塞尔函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "第一类贝塞尔函数." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/BesselFunctionoftheFirstKind.html

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