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图厄-摩尔斯常数

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图厄-摩尔斯常数，也称为奇偶常数，由图厄-摩尔斯序列的串联数字给出

P=0.0110100110010110100101100..._2
(1)

(OEIS A010060) 解释为二进制数。在十进制中，它可以写成

P=1/2sum_(n=0)^(infty)P(n)2^(-n)
(2)
=0.4124540336401075977...
(3)

(OEIS A014571)，其中 P(n) 是 n 的奇偶性 (即，n 的二进制表示中 1 的个数，模 2 计算)。

Dekking (1977) 证明了图厄-摩尔斯常数是超越数，Allouche 和 Shallit 给出了完整的证明，纠正了 Dekking 的一个小错误。

图厄-摩尔斯常数可以用 2 为底数分阶段写出，方法是取前一次迭代 a_n，取通过反转 a_n 的数字获得的补码 a^__n，然后附加，产生

a_0=0.0_2
(4)
a_1=0.01_2
(5)
a_2=0.0110_2
(6)
a_3=0.01101001_2
(7)
a_4=0.0110100110010110_2.
(8)

这可以符号化地写成

a_(n+1)=a_n+a^__n·2^(-2^n)
(9)

其中 a_0=0。这里，补码是数字 a^__n 使得 a_n+a^__n=0.11...1_()_(2^n)_2，可以从下式找到

a_n+a^__n=sum_(k=1)^(2^n)(1/2)^k
(10)
=(1-(1/2)^(2^n))/(1-1/2)-1
(11)
=1-2^(-2^n).
(12)

因此，

a^__n=1-2^(-2^n)-a_n,
(13)

并且

a_(n+1)=a_n+(1-2^(-2^n)-a_n)2^(-2^n)
(14)
=2^(-2^(n+1))(2^(2^n)-1)(1+2^(2^n)a_n).
(15)

最初几次迭代给出 0, 1/4, 3/8, 105/256, 13515/32768, ... (OEIS A074072 和 A074073)。

图厄-摩尔斯常数的正规连分数是 [0 2 2 2 1 4 3 5 2 1 4 2 1 5 44 1 4 1 2 4 1 1 1 5 14 1 50 15 5 1 1 1 4 2 1 4 1 43 1 4 1 2 1 3 16 1 2 1 2 1 50 1 2 424 1 2 5 2 1 1 1 5 5 2 22 5 1 1 1 1274 3 5 2 1 1 1 4 1 1 15 154 7 2 1 2 2 1 2 1 1 50 1 4 1 2 867374 1 1 1 5 5 1 1 6 1 2 7 2 1650 23 3 1 1 1 2 5 3 84 1 1 1 1284 ...] (OEIS A014572)，并且似乎以可疑模式继续出现零星的大项。一个非正规连分数是

P=1/(3-1/(2-1/(4-3/(16-(15)/(256-(255)/(65536-...)))))).
(16)

一个相关的无穷乘积是

P=1/4[2-product_(n=0)^(infty)(2^(2^n)-1)/(2^(2^n))]
(17)
=1/4[2-product_(n=0)^(infty)2^(-2^n)(2^(2^n)-1)]
(18)
=1/4(2-(1·3·15·255·65535...)/(2·4·16·256·65536...))
(19)

(Finch 2003, p. 437)。

另请参阅

数字计数, Komornik-Loreti 常数, 奇偶性, 兔子常数, 图厄常数

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参考文献

Allouche, J. P.; Arnold, A.; Berstel, J.; Brlek, S.; Jockusch, W.; Plouffe, S.; 和 Sagan, B. “图厄-摩尔斯序列的亲属.” Discr. Math. 139, 455-461, 1995.Allouche, J. P. 和 Shallit, J. “无处不在的 Prouhet-图厄-摩尔斯序列.” http://www.math.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/ubiq.ps.Dekking, F. M. “图厄-摩尔斯数的超越性.” Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris 285, 157-160, 1977.Finch, S. R. “Prouhet-图厄-摩尔斯常数.” §6.8 in 数学常数. 英国剑桥: 剑桥大学出版社, pp. 436-441, 2003.Goldstein, S.; Kelly, K. A.; 和 Speer, E. R. “图厄-摩尔斯序列稀疏和的分形结构.” J. Number Th. 42, 1-19, 1992.Schroeppel, R. 和 Gosper, R. W. Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. 中的项目 122. HAKMEM. 马萨诸塞州剑桥: MIT 人工智能实验室, 备忘录 AIM-239, pp. 56-57, 1972 年 2 月. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item122.Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A010060, A014571, A014572, A074072, 和 A074073 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

图厄-摩尔斯常数

请引用为

Weisstein, Eric W. “图厄-摩尔斯常数.” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/Thue-MorseConstant.html

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