无理数性度量

设 为一个实数，并设 为 集合，其中包含使得下式成立的正实数

(1)

对于 ，至多有有限多个解 和 整数。那么，无理数性度量（有时称为刘维尔-罗斯常数或无理数性指数）被定义为刘维尔逼近定理开始生效，并且 不再能被有理数逼近的阈值，

(2)

其中 是下确界。如果集合 为空，则 被定义为 ，并且 被称为刘维尔数。对于非空 ，存在三种可能的机制：

(3)

其中过渡情况 可能对应于 是度数 的代数数或者 是超越数。证明对于代数数 ， 是一个困难的结果，Roth 因此获得了菲尔兹奖。

无理数性度量的定义等价于以下陈述：如果 的无理数性度量为 ，则 是使得不等式

(4)

对于任何 和所有足够大的 的整数 和 成立的最小数。

一个无理数 的无理数性度量可以用其简单连分数展开式 及其收敛项 表示为

			(5)
			(6)

(Sondow 2004)。例如，黄金比例 具有

(7)

这直接从 (6) 和简单连分数展开式 得出。

精确值包括 ，对于 刘维尔常数，以及 (Borwein 和 Borwein 1987, pp. 364-365)。截至 2020 年年中，其他常见常数的已知最佳上限总结在下表中，其中 是阿佩里常数， 和 是 q-调和级数，下限均为 2。

常数	上限	参考文献
	7.10320534	Zeilberger 和 Zudilin (2020)
	5.09541179	Zudilin (2013)
	3.57455391	Marcovecchio (2009)
	5.116201	Bondareva 等人 (2018)
	5.513891	Rhin 和 Viola (2001)
	2.9384	Matala-Aho 等人 (2006)
	2.4650	Zudilin (2004)

对于 的界限归功于 Zeilberger 和 Zudilin (2020)，并在 Salikhov (2008) 先前发现的值 7.606308 上有所改进。它的精确值如下给出。设 为复共轭根

(8)

设 为正实根，并设

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

则界限由下式给出

(13)

Alekseyev (2011) 表明，弗林特山级数的收敛性问题与 的无理数性度量相关，特别是，收敛将暗示 ，这比目前已知的最佳上限要强得多。