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Plouffe 常数

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Plouffe 常数是在与 r_n=f(2^n) 相关的级数求和中出现的数字，其中 f 是一个三角函数。 定义 Iverson 括号函数

rho(x)={1 for x<0; 0 for x>=0.
(1)
PlouffesConstantA

现在通过以下方式定义 a_i

a_n=sin(2^n)
(2)
={sin1 for n=0; 2a_0sqrt(1-a_0^2) for n=1; 2a_(n-1)(1-2a_(n-2)^2) for n>=2,
(3)

那么

A=sum_(n=0)^(infty)(rho(a_n))/(2^(n+1))
(4)
=1/(2pi)
(5)
=0.15915...
(6)

(OEIS A086201)。

PlouffesConstantB

对于

b_n=cos(2^n)
(7)
={cos1 for n=0; 2b_(n-1)^2-1 for n>=1,
(8)

这个和（令人惊讶地）由下式给出

B=sum_(n=0)^(infty)(rho(b_n))/(2^(n+1))
(9)
=1/pi direct sum 1/(2pi)
(10)
=0.4756260767...
(11)

(OEIS A086202)，其中 direct sum 表示二进制数字的异或 (Chowdhury 2001a; Finch 2003, p. 432)。 一个相关的和由下式给出

B^'=sum_(n=0)^(infty)(rho(b_nb_(n-1)))/(2^(n+1))
(12)
=1/pi direct sum 1/(4pi)
(13)
=0.27007972...
(14)

(OEIS A111953)，其中 direct sum 再次表示二进制数字的异或 (Chowdhury 2001b; Finch 2005, p. 20)。

PlouffesConstantC

令

c_n=tan(2^n)
(15)
={tan1 for n=0; (2c_(n-1))/(1-c_(n-1)^2) for n>=1,
(16)

那么

C=sum_(n=0)^(infty)(rho(c_n))/(2^(n+1))
(17)
=1/pi
(18)

(OEIS A049541)。

Plouffe 询问上述过程是否可以“反转”。 他考虑了

alpha_n=sin(2^nsin^(-1)1/2)
(19)
={1/2 for n=0; 1/2sqrt(3) for n=1; 2alpha_(n-1)(1-2alpha_(n-2)^2) for n>=2,
(20)

给出

A=sum_(n=0)^(infty)(rho(alpha_n))/(2^(n+1))
(21)
=1/(12),
(22)

和

beta_n=cos(2^ncos^(-1)1/2)
(23)
={1/2 for n=0; 2beta_(n-1)^2-1 for n>=1,
(24)

给出

B=sum_(n=0)^(infty)(rho(beta_n))/(2^(n+1))
(25)
=1/2,
(26)

和

gamma_n=tan(2^ntan^(-1)1/2)
(27)
={1/2 for n=0; (2gamma_(n-1))/(1-gamma_(n-1)^2) for n>=1,
(28)

给出

C=sum_(n=0)^(infty)(rho(gamma_n))/(2^(n+1))
(29)
=1/pitan^(-1)(1/2)
(30)
=0.1475836...
(31)

(OEIS A086203)，其中这个恒等式由 Plouffe 猜想，并由 Borwein 和 Girgensohn (1995) 证明。

C 有时被称为 Plouffe 常数 (Plouffe 1997)，尽管这个角度至少可以追溯到古希腊时期（Smith 2003）的二十面体几何学中。

Plouffe 常数是超越数，所有形如 (tan^(-1)x)/pi 的数也是超越数，其中 x 是有理数且 x!=0,+/-1 (Smith 2003, Margolius)。

这个常数的二进制展开中 1 的位置是 3, 6, 8, 9, 10, 13, 21, 23, ... (OEIS A004715)。

请注意，这种二进制展开背后的基本思想早已被称为用于计算反三角函数的“CORDIC”算法 (Volder 1959)，据称阿基米德就已知道，并且一直是众多论文 (Walther 1971) 的主题，并在许多商业电子计算器（如 HP-35 (Smith 2003)）中实现。

Borwein 和 Girgensohn (1995) 将 Plouffe 的 gamma_n 扩展到任意实数 x，表明如果

xi_n=tan(2^ntan^(-1)x)={x for n=0; (2xi_(n-1))/(1-xi_(n-1)^2) for n>=1 and |xi_(n-1)|!=1; -infty for n>=1 and |xi_(n-1)|=1,
(32)

那么

sum_(n=0)^infty(rho(xi_n))/(2^(n+1))={(tan^(-1)x)/pi for x>=0; 1+(tan^(-1)x)/pi for x<0.
(33)

Borwein 和 Girgensohn (1995) 也给出了更一般的递归关系和公式。

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参考文献

Borwein, J. M. 和 Girgensohn, R. "加法定理和二进制展开。" Canad. J. Math. 47, 262-273, 1995.Chowdhury, M. "0.4756260767... 的公式。" 未发表的笔记, 2001a.Chowdhury, M. "关于混沌 Logistic 函数 t_(n+1)=4t_n(1-t_n) 的迭代。" 未发表的笔记, 2001b.Finch, S. R. "Plouffe 常数。" §6.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 430-433, 2003.Finch, S. R. "《数学常数》的勘误和补遗。" 2005 年 8 月 11 日。 http://algo.inria.fr/csolve/erradd.pdf.Margolius, B. H. "Plouffe 常数是超越数。" http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/plouffe.pdf.Plouffe, S. "使用直尺和圆规计算某些数字。" J. Integer Sequences 1, No. 98.1.3, 1998. http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL1/compass.Sloane, N. J. A. "整数数列线上百科全书" 中的数列 A004715, A049541, A086201, A086202, A086203, 和 A111953。Smith, W. D. "勾股三元组、有理角和空间填充单形。" 2003. http://math.temple.edu/~wds/homepage/diophant.pdf.Volder, J. "CORDIC 三角计算技术。" IRE Trans. Elec. Comput. EC-8, 330-334, 1959.Walther, J. S. "初等函数的统一算法。" In Spring Joint Computer Conference. pp. 379-385, 1971.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Plouffe 常数

请按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “Plouffe 常数。” 来自 MathWorld—Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PlouffesConstants.html

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