几何作图

在古代，图形和长度的几何作图被限制为仅使用直尺和圆规（或者在柏拉图的情况下，仅使用圆规；这种技术现在被称为马歇罗尼作图）。虽然有时使用“尺子”代替“直尺”，但希腊的规定禁止使用可以进行测量的标记。此外，“圆规”甚至不能通过设定距离然后“走”动来标记距离，因此圆规必须被认为在不绘制圆的过程中会自动塌陷。

由于希腊几何作图在欧几里得的几何原本中占据突出地位，这些作图有时也被称为欧几里得作图。这种作图是古代几何问题的核心，例如化圆为方、倍立方和三等分角。希腊人无法解决这些问题，但直到数百年后，这些问题才被证明在施加的限制下实际上是不可能的。1796年，高斯证明了可作图正多边形的边数必须具有涉及费马素数的特定形式，对应于所谓的三角学角。

虽然欧几里得给出了正三角形、正方形、正五边形及其衍生图形的作图方法，但基于费马素数 的作图方法对古代人来说是未知的。大约在1800年，Erchinger 给出了第一个明确的正十七边形（17 边形）的作图方法。Richelot 和 Schwendenwein 在 1832 年找到了正二百五十七边形（257 边形）的作图方法，而 Hermes 花费了 10 年时间在 1900 年左右在哥廷根完成了正六万五千五百三十七边形（65537 边形）的作图（Coxeter 1969）。等边三角形和正方形的作图是简单的（下图顶部）。正五边形和正十七边形的优雅作图归功于 Richmond (1893)（下图底部）。

给定一个点，可以构造任意所需半径的圆，并绘制穿过中心的直径。将中心称为 ，直径的右端点称为 。可以通过找到垂直平分线来构造原始直径的垂线。将此垂线直径的上端点称为 。对于正五边形，找到 的中点并将其称为 。绘制 ，并平分 ，将与 的交点称为 。绘制与 平行的 ，正五边形的前两个点是 和 。正十七边形的作图更为复杂，但可以通过 17 个相对简单的步骤完成。作图问题现在已经自动化了（Bishop 1978）。

简单的代数运算，例如 、、 (对于 一个有理数)、、 和 可以使用几何作图来执行（Bold 1982，Courant 和 Robbins 1996）。其他更复杂的作图，例如阿波罗尼斯问题的解和反演点的作图也可以完成。

最简单的几何作图之一是线段的平分线的作图，如上图所示。

希腊人非常擅长作图多边形，但高斯的才华才得以从数学上确定哪些作图是可能的，哪些是不可能的。因此，高斯确定了一系列多边形（其中最小的具有 17 条边；正十七边形）具有希腊人未知的作图方法。高斯表明，可作图多边形（其中几个如上图所示）与称为费马素数的数字密切相关。

Wernick (1982) 给出了 139 组三个已定位的点，从中可以作图一个三角形。在 Wernick 最初的 139 个问题列表中，截至 1996 年，仍有 20 个问题尚未解决（Meyers 1996）。

可以使用直尺和圆规作图有理数和欧几里得数。一般来说，可以使用圆规和直尺作图的数字术语是可作图数。一些无理数，但没有超越数可以被作图出来。

事实证明，所有用圆规和直尺可以完成的作图都可以单独用圆规完成，只要当线的两个端点被定位时，该线就被认为是作图出来的。反之亦然，因为 Jacob Steiner 表明，所有用直尺和圆规可以完成的作图都可以仅使用直尺完成，只要事先绘制了一个固定的圆及其中心（或两个相交的圆，而没有它们的中心，或三个不相交的圆）。这种作图被称为斯坦纳作图。

作图术是对几何作图简易程度的定量度量。它将几何作图简化为五种类型的操作，并力求减少实现几何作图所需的总操作数（称为“简易性”）。

Dixon（1991 年，第 34-51 页）给出了一些无法严格作图的图形（正七边形和正九边形）和长度（pi）的近似作图。Ramanujan (1913-1914) 和 Olds (1963) 给出了 的几何作图。Gardner（1966 年，第 92-93 页）给出了

Kochanski 的 的近似作图产生了Kochanski 近似值

Steinhaus（1999 年，第 143 页）。 的作图是化圆为方的近似（但不精确）形式。