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第一类修正贝塞尔函数

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BesselI

函数 I_n(x) 是修正贝塞尔微分方程的解之一，并且与第一类贝塞尔函数 J_n(x) 密切相关。上面的图显示了 I_n(x)，其中 n=1, 2, ..., 5。第一类修正贝塞尔函数在 Wolfram 语言 中实现为BesselI[nu, z]。

第一类修正贝塞尔函数 I_n(z) 可以通过围道积分定义

I_n(z)=1/(2pii)∮e^((z/2)(t+1/t))t^(-n-1)dt,
(1)

其中围道包围原点并沿逆时针方向遍历（Arfken 1985，第 416 页）。

用 J_n(x) 表示，

I_n(x)=i^(-n)J_n(ix)=e^(-npii/2)J_n(xe^(ipi/2)).
(2)

对于实数 nu，该函数可以使用以下公式计算

I_nu(z)=(1/2z)^nusum_(k=0)^infty((1/4z^2)^k)/(k!Gamma(nu+k+1)),
(3)

其中 Gamma(z) 是伽玛函数。积分公式为

I_nu(z)=1/piint_0^pie^(zcostheta)cos(nutheta)dtheta-(sin(nupi))/piint_0^inftye^(-zcosht-nut)dt,
(4)

当 nu 为整数 n 时，简化为

I_n(z)=1/piint_0^pie^(zcostheta)cos(ntheta)dtheta
(5)

（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 376 页）。

用 I_0(x) 表示更高阶修正贝塞尔函数的导数恒等式为

I_n(x)=T_n(d/(dx))I_0(x),
(6)

其中 T_n(x) 是第一类切比雪夫多项式。

BesselI0ReIm
BesselI0Contours

当 n=0 的特殊情况给出 I_0(z) 作为级数

I_0(z)=sum_(k=0)^infty((1/4z^2)^k)/((k!)^2).
(7)

另请参见

第一类贝塞尔函数、连分数常数、第二类修正贝塞尔函数、韦伯公式

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselI/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑)。 "修正贝塞尔函数 I 和 K。" §9.6 在 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约：Dover，第 374-377 页，1972 年。Arfken, G. "修正贝塞尔函数，I_nu(x) 和 K_nu(x)。" §11.5 在 物理学家数学方法，第 3 版。 奥兰多，佛罗里达州：Academic Press，第 610-616 页，1985 年。Finch, S. R. 数学常数。 英国剑桥：剑桥大学出版社，2003 年。Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "分数阶贝塞尔函数、艾里函数、球贝塞尔函数。" §6.7 在 FORTRAN 数值秘籍：科学计算的艺术，第 2 版。 英国剑桥：剑桥大学出版社，第 234-245 页，1992 年。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "双曲贝塞尔函数 I_0(x) 和 I_1(x)" 和 "一般双曲贝塞尔函数 I_nu(x)。" 第 49-50 章在 函数图谱。 华盛顿特区：Hemisphere，第 479-487 和 489-497 页，1987 年。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

第一类修正贝塞尔函数

请按以下方式引用

Weisstein, Eric W. "第一类修正贝塞尔函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ModifiedBesselFunctionoftheFirstKind.html

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