平行六面体

在三维空间中，平行六面体是一个棱柱，其面都是平行四边形。设 、 和 是定义三维平行六面体的基向量。那么，平行六面体的体积由标量三重积给出

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在 维空间中，平行六面体是由 个向量 , ..., 在实数向量空间上张成的多胞形，

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其中 对于 , ..., 。在通常的解释中，向量空间被视为欧几里得空间，并且这个平行六面体的容积由下式给出

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其中行列式的符号被认为是平行六面体“定向体积”的“方向”。

给定 个向量 , ..., 在 维空间中，它们的凸包（以及零向量）

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被称为平行六面体，推广了平面中平行四边形的概念，或者更确切地说，是它的内部。如果向量的数量等于维度，则

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是一个方阵，平行六面体的体积由 给出，其中 的列由向量 给出。更一般地，平行六面体的 维体积由 给出。

当向量是切向量时，平行六面体表示一个无穷小的 维体积元素。对这个体积积分可以得到 维空间中 维物体的体积公式。更本质地，平行六面体对应于外代数 的一个可分解元素。