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循环行列式

Gradshteyn 和 Ryzhik (2000) 将循环行列式定义为

|x_1 x_2 x_3 ... x_n; x_n x_1 x_2 ... x_(n-1); x_(n-1) x_n x_1 ... x_(n-2); | | | ... |; x_2 x_3 x_4 ... x_1|=product_(j=1)(x_1+x_2omega_j+x_3omega_j^2+...+x_nomega_j^(n-1)),
(1)

其中 omega_j 是第 n 个 单位根。二阶循环行列式为

|x_1 x_2; x_2 x_1|=(x_1+x_2)(x_1-x_2),
(2)

三阶循环行列式为

|x_1 x_2 x_3; x_3 x_1 x_2; x_2 x_3 x_1|=(x_1+x_2+x_3)(x_1+omegax_2+omega^2x_3)(x_1+omega^2x_2+omegax_3),
(3)

其中 omega 和 omega^2 是 复数 立方根 单位根。

对应 n×n 循环矩阵 的特征值 lambda 为

lambda_j=x_1+x_2omega_j+x_3omega_j^2+...+x_nomega_j^(n-1).
(4)

参见

循环矩阵

使用 探索

参考文献

Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 积分表、级数和乘积，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, pp. 1111-1112, 2000.Vardi, I. Mathematica 中的计算娱乐。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 114, 1991.

在 中被引用

循环行列式

引用为

Weisstein, Eric W. “循环行列式。” 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/CirculantDeterminant.html

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