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哈达玛最大行列式问题

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哈达玛最大行列式问题旨在找到对于任意 行列式 而言，当 n×n 矩阵的元素取自某个集合时，可能的最大 行列式 值（绝对值）。哈达玛 (Hadamard) (1893) 证明了任意 复数 n×n 矩阵 A，其元素取自闭 单位圆盘 |a_(ij)|<=1，满足

|detA|<=n^(n/2),
(1)

等式在 范德蒙矩阵 为 n 次 单位根 时成立（Faddeev 和 Sominskii 1965, p. 331；Brenner 和 Cummings 1972）。max(detA_n) 对于 n=1, 2, ... 的前几个值为 1, 2, 3sqrt(3), 16, 25sqrt(5), 216, ...，它们的平方为 1, 4, 27, 256, 3125, ... (OEIS A000312)。

具有最大行列式的 (-1,1)-矩阵 称为 哈达玛矩阵 (Brenner 和 Cummings 1972)。n^(n/2) 的相同界限适用于此类矩阵，当矩阵的大小不是 4 的倍数时，已知更严格的界限。Orrick 和 Solomon 给出了关于这些界限的已知总结。

对于 (0,1)-矩阵，哈达玛界限可以改进为

|detA|<=((n+1)^((n+1)/2))/(2^n)
(2)

(Faddeev 和 Sominskii 1965, 问题 523；Brenner 和 Cummings 1972)。

对于 n×n (0,1)-矩阵（即，二进制矩阵），对于 n=1, 2, ...，可能的最大行列式 beta_n 为 1, 1, 2, 3, 5, 9, 32, 56, 144, 320, 1458, 3645, 9477, ... (OEIS A003432)。具有最大可能行列式的不同 n×n 二进制矩阵的数量为 1, 3, 3, 60, 3600, 529200, 75600, 195955200, 13716864000, ... (OEIS A051752)。

n矩阵
1[1]
2[1 0; 0 1],[1 0; 1 1],[1 1; 0 1]
3[0 1 1; 1 0 1; 1 1 0],[1 0 1; 1 1 0; 0 1 1],[1 1 0; 0 1 1; 1 0 1]

对于 n×n (-1,1)-矩阵，对于 n=1, 2, ...，可能的最大行列式 alpha_n 为 1, 2, 4, 16, 48, 160, ... (OEIS A003433；Ehlich 和 Zeller 1962, Ehlich 1964)。具有最大可能行列式的不同 n×n (-1,1)-矩阵的数量为 1, 4, 96, 384, 30720, ... (OEIS A188895)。alpha_n 与最大可能 (0,1)-矩阵行列式 beta_(n-1) 相关，关系如下：

alpha_n=2^(n-1)beta_(n-1)
(3)

(Williamson 1946, Brenner 和 Cummings 1972)。

n矩阵
1[1]
2[-1 -1; 1 -1],[-1 1; -1 -1],[1 -1; 1 1],[1 1; -1 1]

对于 n×n (-1,0,1)-矩阵，最大可能行列式 gamma_n 与 alpha_n 相同 (Ehlich 1964, Brenner 1972)。具有最大行列式的 n×n (-1,0,1)-矩阵的数量为 1, 4, 240, 384, 30720, ... (OEIS A051753)。

另请参阅

(-1,0,1)-矩阵, (-1,1)-矩阵, (0,1)-矩阵, 行列式, 哈达玛矩阵, 整数矩阵

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参考文献

Brenner, J. 和 Cummings, L. "The Hadamard Maximum Determinant Problem." Amer. Math. Monthly 79, 626-630, 1972.Cohn, J. H. E. "Determinants with Elements +/-1." J. London Math. Soc. 14, 581-588, 1963.Ehlich, H. "Determinantenabschätzungen für binäre Matrizen." Math. Z. 83, 123-132, 1964.Ehlich, H. 和 Zeller, K. "Binäre Matrizen." Z. angew. Math. Mechanik 42, T20-21, 1962.Faddeev, D. K. 和 Sominskii, I. S. 高等代数问题集。 旧金山: W. H. Freeman, 1965.Hadamard, J. "Résolution d'une question relative aux déterminants." Bull. Sci. Math. 17, 30-31, 1893.Hall, M. 组合理论，第二版。 纽约: Wiley, 1998.Kaplansky, I. "Never Too Late." Amer. Math. Monthly 102, 259, 1995.MacWilliams, F. J. 和 Sloane, N. J. A. 纠错码理论。 阿姆斯特丹，荷兰: North-Holland, p. 54, 1978.Orrick, W. 和 Solomon, B. "Known Bounds on Maximal Determinants." http://www.indiana.edu/~maxdet/bounds.html.Sloane, N. J. A. 序列 A003432/M0720, A003433/M1291, A051752, A051753, 和 A188895，出自 "整数序列在线百科全书"。Williamson, J. "Determinants Whose Elements are 0 and 1." Amer. Math. Monthly 53, 427-434, 1946.Yang, C. H. "Some Designs for Maximal (+1,-1)-Determinant of Order n=2 (mod 4)." Math. Comput. 20, 147-148, 1966.Yang, C. H. "A Construction for Maximal (+1,-1)-Matrix of Order 54." Bull. Amer. Math. Soc. 72, 293, 1966.Yang, C. H. "On Designs of Maximal (+1,-1)-Matrices of Order n=2 (mod 4)." Math. Comput. 22, 174-180, 1968.Yang, C. H. "On Designs of Maximal (+1,-1)-Matrices of Order n=2 (mod 4) II." Math. Comput. 23, 201-205, 1969.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

哈达玛最大行列式问题

请引用本文献，格式如下：

Weisstein, Eric W. "哈达玛最大行列式问题。" 出自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HadamardsMaximumDeterminantProblem.html

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