主题
Search

Cayley-Menger 行列式

下载 Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

Cayley-Menger 行列式是一个 行列式，它给出了 单形在 j 维度中的体积。如果 S 是 j-单形在 R^n 中，其顶点为 v_1,...,v_(j+1) 且 B=(beta_(ik)) 表示 (j+1)×(j+1) 矩阵，由下式给出

beta_(ik)=|v_i-v_k|_2^2,
(1)

那么 内容 V_j 由下式给出

V_j^2(S)=((-1)^(j+1))/(2^j(j!)^2)det(B^^),
(2)

其中 B^^ 是从 (j+2)×(j+2) 矩阵 B 通过在 B 的顶部添加一行 (0,1,...,1) 和在左侧添加一列 (0,1,...,1)^(T) 获得的。L2 范数 向量 |v_i-v_k|_2 是边长，(2) 中的 行列式 是 Cayley-Menger 行列式 (Sommerville 1958, Gritzmann and Klee 1994)。

对于 j=0, 1, 2, ... 的前因子的乘法逆元为 -1, 2, -16, 288, -9216, 460800, ... (OEIS A055546)。

对于 j=2, (2) 变为

-16Delta^2=|0 1 1 1; 1 0 c^2 b^2; 1 c^2 0 a^2; 1 b^2 a^2 0|,
(3)

这给出了边长为 a, b 和 c 的平面三角形的 面积，并且是 海伦公式 的一种形式。

对于 j=3，3-单形的内容（即，一般 四面体 的体积）由以下行列式给出

288V^2=|0 1 1 1 1; 1 0 d_(12)^2 d_(13)^2 d_(14)^2; 1 d_(21)^2 0 d_(23)^2 d_(24)^2; 1 d_(31)^2 d_(32)^2 0 d_(34)^2; 1 d_(41)^2 d_(42)^2 d_(43)^2 0|,
(4)

其中顶点 i 和 j 之间的边长为 d_(ij)。将左侧设置为 0（对应于体积为 0 的 四面体）给出了平面 四边形 顶点之间 距离 的关系 (Uspensky 1948, p. 256)。

Buchholz (1992) 给出了这个方程的一个稍微不同（且对称性稍差）的形式。

另请参阅

海伦公式, 四边形, 四面体

此条目由 Karen D. Colins 贡献

使用 探索

参考文献

Buchholz, R. H. "Perfect Pyramids." Bull. Austral. Math. Soc. 45, 353-368, 1992.Fiedler M. Matrices and Graphs in Geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2011.Gritzmann, P. and Klee, V. §3.6.1 in "On the Complexity of Some Basic Problems in Computational Convexity II. Volume and Mixed Volumes." In Polytopes: Abstract, Convex and Computational (Ed. T. Bisztriczky, P. McMullen, R. Schneider, R.; and A. W. Weiss). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1994.Sloane, N. J. A. Sequence A055546 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sommerville, D. M. Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York: Dover, p. 124, 1958.Uspensky, J. V. Theory of Equations. New York: McGraw-Hill, p. 256, 1948.

在 中被引用

Cayley-Menger 行列式

引用为

科林斯, Karen D. "Cayley-Menger 行列式。" 来自 Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/Cayley-MengerDeterminant.html

主题分类