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Cayley-Menger 行列式

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Cayley-Menger 行列式是一个 行列式，它给出了 单形在 j 维度中的体积。如果 S 是 j-单形在 R^n 中，其顶点为 v_1,...,v_(j+1) 且 B=(beta_(ik)) 表示 (j+1)×(j+1) 矩阵，由下式给出

beta_(ik)=|v_i-v_k|_2^2,
(1)

那么 内容 V_j 由下式给出

V_j^2(S)=((-1)^(j+1))/(2^j(j!)^2)det(B^^),
(2)

其中 B^^ 是从 (j+2)×(j+2) 矩阵 B 通过在 B 的顶部添加一行 (0,1,...,1) 和在左侧添加一列 (0,1,...,1)^(T) 获得的。L2 范数 向量 |v_i-v_k|_2 是边长，(2) 中的 行列式 是 Cayley-Menger 行列式 (Sommerville 1958, Gritzmann and Klee 1994)。

对于 j=0, 1, 2, ... 的前因子的乘法逆元为 -1, 2, -16, 288, -9216, 460800, ... (OEIS A055546)。

对于 j=2, (2) 变为

-16Delta^2=|0 1 1 1; 1 0 c^2 b^2; 1 c^2 0 a^2; 1 b^2 a^2 0|,
(3)

这给出了边长为 a, b 和 c 的平面三角形的 面积，并且是 海伦公式 的一种形式。

对于 j=3，3-单形的内容（即，一般 四面体 的体积）由以下行列式给出

288V^2=|0 1 1 1 1; 1 0 d_(12)^2 d_(13)^2 d_(14)^2; 1 d_(21)^2 0 d_(23)^2 d_(24)^2; 1 d_(31)^2 d_(32)^2 0 d_(34)^2; 1 d_(41)^2 d_(42)^2 d_(43)^2 0|,
(4)

其中顶点 i 和 j 之间的边长为 d_(ij)。将左侧设置为 0（对应于体积为 0 的 四面体）给出了平面 四边形 顶点之间 距离 的关系 (Uspensky 1948, p. 256)。

Buchholz (1992) 给出了这个方程的一个稍微不同（且对称性稍差）的形式。

另请参阅

海伦公式, 四边形, 四面体

此条目由 Karen D. Colins 贡献

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参考文献

Buchholz, R. H. "Perfect Pyramids." Bull. Austral. Math. Soc. 45, 353-368, 1992.Fiedler M. Matrices and Graphs in Geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2011.Gritzmann, P. and Klee, V. §3.6.1 in "On the Complexity of Some Basic Problems in Computational Convexity II. Volume and Mixed Volumes." In Polytopes: Abstract, Convex and Computational (Ed. T. Bisztriczky, P. McMullen, R. Schneider, R.; and A. W. Weiss). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1994.Sloane, N. J. A. Sequence A055546 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sommerville, D. M. Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York: Dover, p. 124, 1958.Uspensky, J. V. Theory of Equations. New York: McGraw-Hill, p. 256, 1948.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Cayley-Menger 行列式

引用为

科林斯, Karen D. "Cayley-Menger 行列式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/Cayley-MengerDeterminant.html

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