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复共轭


复数 z=a+bi 的复共轭定义为

 z^_=a-bi.
(1)

矩阵 A=(a_(ij))共轭矩阵是通过将每个元素 a_(ij) 替换为其复共轭 A^_=(a^__(ij)) 得到的矩阵 (Arfken 1985, p. 210)。

复共轭在 Wolfram 语言 中实现为Conjugate[z]。

请注意,复共轭有几种常用符号。应用物理学和工程学教材倾向于使用 z^*,而大多数现代数学和理论物理学教材则偏爱 z^_。不幸的是,符号 z^* 也常用于表示伴随算子矩阵。由于这些相互矛盾的约定,查阅文献时需要谨慎。在本文中,z^_ 用于表示复共轭。

下表总结了复共轭的常用符号约定。

符号参考文献
z^_本文;Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 16), Anton (2000, p. 528), Harris 和 Stocker (1998, p. 21), Golub 和 Van Loan (1996, p. 15), Kaplan (1981, p. 28), Kaplan (1992, p. 572), Krantz (1999, p. 2), Kreyszig (1988, p. 568), Roman (1987, p. 534), Strang (1988, p. 220), Strang (1993)
z^*Arfken (1985, p. 356), Bekefi 和 Barrett (1987, p. 616), Press et al. (1989, p. 397), Harris 和 Stocker (1998, p. 21), Hecht (1998, p. 18), Herkommer (1999, p. 262)

在线性代数中,通常对同一个矩阵应用复共轭和转置。通过这种组合运算从给定矩阵 A 获得的矩阵通常称为 共轭转置 A^(H) A。然而,术语伴随矩阵、附加矩阵、埃尔米特共轭和埃尔米特伴随也被使用,符号 A^|A^* 也是如此。在本文中,A^(H) 用于表示共轭转置矩阵,a^| 用于表示伴随算子。

根据定义,复共轭满足

 z^_^_=z.
(2)

复共轭在复数加法下是可分配的

 z_1+z_2^_=z^__1+z^__2,
(3)

因为

(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)^_=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)^_
(4)
=(a_1+a_2)-i(b_1+b_2)
(5)
=(a_1-ib_1)+(a_2-ib_2)
(6)
=a_1+ib_1^_+a_2+ib_2^_,
(7)

并且在复数乘法上是可分配的

 z_1z_2^_=z^__1z^__2,
(8)

因为

(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)^_=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1)^_
(9)
=(a_1a_2-b_1b_2)-i(a_1b_2+a_2b_1)
(10)
=(a_1-ib_1)(a_2-ib_2)
(11)
=a_1+ib_1^_ a_2+ib_2^_.
(12)

参见

复数加法, 复分析, 复数除法, 复数指数, 复数模量, 复数乘法, 复数, 复数减法, 共轭矩阵, 共轭转置 在 MathWorld 课堂中探索此主题

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Conjugate/

在 Wolfram|Alpha 中探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册,包含公式、图表和数学表格,第 9 版. New York: Dover, p. 16, 1972.Anton, H. 初等线性代数,第 8 版. New York: Wiley, 2000.Arfken, G. 物理学家的数学方法,第 3 版. Orlando, FL: Academic Press, pp. 355-356, 1985.Bekefi, G. 和 Barrett, A. H. 电磁振荡、波和辐射. Cambridge, MA: MIT Press, p. 616, 1987.Golub, G. 和 Van Loan, C. 矩阵计算,第 3 版. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, 1996.Hecht, E. 光学,第 3 版. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 18, 1998.Herkommer, M. A. 数论:程序员指南. New York: McGraw-Hill, p. 262, 1999.Harris, J. W. 和 Stocker, H. 数学和计算科学手册. New York: Springer-Verlag, p. 21, 1998.Kaplan, W. 高等微积分,第 4 版. Reading, MA: Addison-Wesley, 1992.Kaplan, W. 工程师高等数学. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.Krantz, S. G. "复共轭." §1.1.3 in 复变量手册. Boston, MA: Birkhäuser, p. 2, 1999.Kreyszig, E. 高等工程数学,第 6 版. New York: Wiley, p. 568, 1988.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. FORTRAN 数值菜谱:科学计算的艺术,第 2 版. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1989.Roman, S. "复数的共轭和复数除法." §11.2 in 大学代数和三角学. San Diego, CA: Harcourt, Brace, Jovanovich, pp. 534-541, 1987.Strang, G. 线性代数导论. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1993.Strang, G. 线性代数及其应用,第 3 版. Philadelphia, PA: Saunders, 1988.

在 Wolfram|Alpha 上引用

复共轭

请引用为

Weisstein, Eric W. "复共轭." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/ComplexConjugate.html

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