主题
Search

凝聚

一种计算方阵行列式的方法，由查尔斯·道奇森 (Charles Dodgson) (1866 年) 提出（他以笔名路易斯·卡罗尔 (Lewis Carroll) 而更为出名）。该方法对手工计算非常有用，因为对于整数矩阵，沿途计算出的子矩阵中的所有条目也必须是整数。该方法也可以在并行计算中高效实现。凝聚法也称为收缩法（Macmillan 1955，Lotkin 1959）。

给定一个 n 乘 n 矩阵，凝聚法逐次计算一个 (n-1) 乘 (n-1) 矩阵、一个 (n-2) 乘 (n-2) 矩阵等等，直到得到一个 1 乘 1 矩阵，其唯一的条目最终是原始矩阵的行列式。为了计算 k 乘 k 矩阵（n-1 大于等于 k 大于等于 1），取 k 平方 个 2 乘 2 (k+1) 乘 (k+1) 矩阵的连通子行列式，并将它们除以 k 平方 个 (k+2) 乘 (k+2) 矩阵的中心条目，对于 k 等于 n-1 不执行除法。以这种方式得到的 k 乘 k 矩阵是原始矩阵的 k 平方 乘 (n-k+1) 乘 (n-k+1) 连通子矩阵的行列式矩阵。

例如，3 乘 3 矩阵的第一次凝聚

[a b c; d e f; g h i]
(1)

得到该矩阵

[ae-bd bf-ce; dh-eg ei-fh],
(2)

第二次凝聚得到

[((ae^2i-aefh-bdei+bdfh)-(bdfh-befg-cdeh+ce^2g))/e]
(3)

它是原始矩阵的行列式。合并项得到

(1)aei+(-1)afh+(-1)bdi+(0)bde^(-1)fh+(1)bfg+(1)cdh+(-1)ceg,
(4)

其中非零项对应于置换矩阵。在 4 乘 4 的情况下，得到 24 个非零项和 18 个消失项。这 42 项对应于交错符号矩阵，对于这些矩阵，行或列中的任何 负 1 必须在其“外部”有一个 正 1 （即，所有 负 1 都被 正 1“包围”）。

参见

交错符号矩阵, 基奥主元凝聚法, 行列式, 子式展开行列式

通过 探索

参考文献

Bareiss, E. H. "Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination." Math. Comput. 22, 565-578, 1968.Bressoud, D. and Propp, J. "How the Alternating Sign Matrix Conjecture was Solved." Not. Amer. Math. Soc. 46, 637-646.Dodgson, C. L. "Condensation of Determinants, Being a New and Brief Method for Computing their Arithmetic Values." Proc. Roy. Soc. Ser. A 15, 150-155, 1866.Lotkin, M. "Note on the Method of Contractants." Amer. Math. Soc. 55, 476-479, 1959.Macmillan, R. H. A New Method for the Numerical Evaluation of Determinants." J. Roy. Aeronaut. Soc. 59, 772, 1955.Robbins, D. P. and Rumsey, H. Jr. "Determinants and Alternating Sign Matrices." Adv. Math. 62, 169-184, 1986.

在 上被引用

凝聚

如此引用

维斯泰因，埃里克·W. “凝聚法。” 来自 ——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Condensation.html

主题分类