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西尔维斯特矩阵

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对于两个多项式 P_1(x)=a_mx^m+...+a_0 和 P_2=b_nx^n+...+b_0，其阶数分别为 m 和 n，西尔维斯特矩阵是一个 (m+n)×(m+n) 矩阵，通过从左上角开始用 P_1(x) 的系数填充矩阵来形成，然后向下移动一行和向右移动一列，从那里开始填充系数，直到它们到达右侧。然后对 P_2(x) 的系数重复此过程。

西尔维斯特矩阵可以在 Wolfram 语言 中实现为

  SylvesterMatrix1[poly1_, poly2_,  var_] :=
    Function[{coeffs1, coeffs2}, With[
      {l1 = Length[coeffs1], l2 = Length[coeffs2]},
        Join[
          NestList[RotateRight, PadRight[coeffs1,
            l1 + l2 -  2], l2 - 2],
          NestList[RotateRight, PadRight[coeffs2,
            l1 + l2 - 2], l1 - 2]
        ]
      ]
    ][
      Reverse[CoefficientList[poly1, var]],
      Reverse[CoefficientList[poly2, var]]
  ]

例如，P_1(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 和 P_2(x)=b_2x^2+b_1x+b_0 的西尔维斯特矩阵是

[a_3 a_2 a_1 a_0 0; 0 a_3 a_2 a_1 a_0; b_2 b_1 b_0 0 0; 0 b_2 b_1 b_0 0; 0 0 b_2 b_1 b_0].

两个多项式的西尔维斯特矩阵的行列式是多项式的结式。

SylvesterMatrix是用于Resultant函数的（未文档化的）方法，在 Wolfram 语言 中（尽管它确实在 Trott 2006 年第 29 页中有记录）。

另请参见

行列式, 结式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Akritas, A. G. "Sylvester's Forgotten Form of the Resultant." Fib. Quart. 31, 325-332, 1993.Akritas, A. G. "Sylvester's Form of the Resultant and the Matrix-Triangularization Subresultant prs Method." Proceedings of the Conference on Computer Aided Proofs in Analysis, Cincinnati, Ohio, March, 1989 (Ed. K. R. Meyer and D. S. Schmidt.) IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 28, 5-11, 1991.Laidacker, M. A. "Another Theorem Relating Sylvester's Matrix and the Greatest Common Divisor." Math. Mag. 42, 126-128, 1969.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, p. 28, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

在 Wolfram|Alpha 上引用

西尔维斯特矩阵

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "西尔维斯特矩阵。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SylvesterMatrix.html

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