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排列符号


排列符号(Evett 1966;Goldstein 1980,第172页;Aris 1989,第16页)是一个三指标对象,有时被称为列维-奇维塔符号(Levi-Civita symbol)(Weinberg 1972,第38页;Misner 等人 1973,第87页;Arfken 1985,第132页;Chandrasekhar 1998,第68页),列维-奇维塔密度(Levi-Civita density)(Goldstein 1980,第172页),交替张量(alternating tensor)(Goldstein 1980,第172页;Landau 和 Lifshitz 1986,第110页;Chou 和 Pagano 1992,第182页),或符号。它由下式定义:

 epsilon_(ijk)={0   for i=j,j=k, or k=i; +1   for (i,j,k) in {(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)}; -1   for (i,j,k) in {(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)}.
(1)

排列符号在 Wolfram 语言 中实现为Signature[list]。

该符号有几种常用表示法,第一种使用常见的希腊字母 epsilon epsilon_(ijk)(Goldstein 1980,第172页;Griffiths 1987,第139页;Jeffreys 和 Jeffreys 1988,第69页;Aris 1989,第16页;Chou 和 Pagano 1992,第182页),第二种使用花体变体 epsilon_(ijk)(Weinberg 1972,第38页;Misner 等人 1973,第87页;Lightman 等人 1979,第19-21页和183-188页;Arfken 1985,第132页;Chandrasekhar 1998,第68页),第三种使用拉丁小写字母 e_(ijk)(Landau 和 Lifshitz 1986,第110页;Green 和 Zerna 1992,第11页)。

该符号也可以解释为张量,在这种情况下,它被称为排列张量

排列符号满足

delta_(ij)epsilon_(ijk)=0
(2)
epsilon_(ipq)epsilon_(jpq)=2delta_(ij)
(3)
epsilon_(ijk)epsilon_(ijk)=6
(4)
epsilon_(ijk)epsilon_(pqk)=delta_(ip)delta_(jq)-delta_(iq)delta_(jp),
(5)

其中 delta_(ij)克罗内克 delta(Kronecker delta)(Arfken 1985,第136页)。

该符号也可以定义为右手坐标系中单位向量的标量三重积

 epsilon_(ijk)=x_i^^·(x_j^^xx_k^^).
(6)

该符号可以推广到任意数量的元素,在这种情况下,排列符号为 (-1)^(i(p)),其中 i(p) 是构建排列 p 必须组成的元素对的换位数(即,排列倒置)(Skiena 1990)。这种类型的符号出现在 nxn 矩阵的行列式计算中。在 n 个符号上具有符号 -1 的排列数为 n!/2,这也是具有符号 +1 的排列数。


另请参见

偶排列奇排列排列排列轮换排列倒置排列张量换位

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/Signature/

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参考文献

Arfken, G. 物理学家数学方法,第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, 第132-133页和136页,1985年。Aris, R. 向量、张量和流体 mechanics 的基本方程 New York: Dover, 1989年。Chandrasekhar, S. 黑洞的数学理论 Oxford, England: Clarendon Press, 1998年。Chou, P. C. 和 Pagano, N. J. "交替张量。" §8.7 in 弹性:张量、并矢和工程方法 New York: Dover, 第182-186页,1992年。Evett, A. A. "初等向量分析的排列符号方法。" Amer. J. Phys. 34, 503-507, 1966年。Goldstein, H. 经典力学,第 2 版 Reading, MA: Addison-Wesley, 1980年。Green, A. E. 和 Zerna, W. 理论弹性,第 2 版 New York: Dover, 1992年。Griffiths, D. J. 基本粒子导论 New York: Wiley, 1987年。Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. 数学物理方法,第 3 版 Cambridge, England: Cambridge University Press, 第69-74页,1988年。Landau, L. D. 和 Lifschitz, E. M. 弹性理论,第 3 版 修订增补版 Oxford, England: Pergamon Press, 1986年。Lightman, A. P.; Price, R. H.; 和 Teukolsky, S. 相对论和引力问题集,第 2 版次 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1979年。Misner, C. W.; Thorne, K. S.; 和 Wheeler, J. A. 引力 San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1973年。Skiena, S. "签名。" §1.2.5 in 离散数学实现:Mathematica 的组合数学和图论 Reading, MA: Addison-Wesley, 1990年。Weinberg, S. 引力与宇宙学:广义相对论的原理与应用 New York: Wiley, 第38页,1972年。

在 Wolfram|Alpha 上引用

排列符号

请引用为

Weisstein, Eric W. “排列符号。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PermutationSymbol.html

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