主题
Search

超行列式

普通行列式到“更高维度”超矩阵的技术定义的扩展。凯莱（Cayley，1845年）最初创造了这个术语，但随后用它来指代多线性形式的代数不变量。2×2×2 超矩阵 A=a_(ijk)（对于i,j,k=0,1）的超行列式由下式给出

det(A)=(a_(000)^2a_(111)^2+a_(001)^2a_(110)^2+a_(010)^2a_(101)^2+a_(011)^2a_(100)^2)-2(a_(000)a_(001)a_(110)a_(111)+a_(000)a_(010)a_(101)a_(111)+a_(000)a_(011)a_(100)a_(111)+a_(001)a_(010)a_(101)a_(110)+a_(001)a_(011)a_(110)a_(100)+a_(010)a_(011)a_(101)a_(100))+4(a_(000)a_(011)a_(101)a_(110)+a_(001)a_(010)a_(100)a_(111)).
(1)

当且仅当以下六个未知数方程组具有非平凡解时，上述超行列式消失。

a_(000)x_0y_0+a_(010)x_0y_1+a_(100)x_1y_0+a_(110)x_1y_1=0
(2)
a_(001)x_0y_0+a_(011)x_0y_1+a_(101)x_1y_0+a_(111)x_1y_1=0
(3)
a_(000)x_0z_0+a_(001)x_0z_1+a_(100)x_1z_0+a_(101)x_1z_1=0
(4)
a_(010)x_0z_0+a_(011)x_0z_1+a_(110)x_1z_0+a_(111)x_1z_1=0
(5)
a_(000)y_0z_0+a_(001)y_0z_1+a_(010)y_1z_0+a_(011)y_1z_1=0
(6)
a_(100)y_0z_0+a_(101)y_0z_1+a_(110)y_1z_0+a_(111)y_1z_1=0.
(7)

Glynn（1998年）发现了唯一已知的维度大于2的乘法超行列式。

另请参阅

行列式，超矩阵

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Cayley, A. "论线性变换理论。" 剑桥数学杂志 4, 193-209, 1845.Gel'fand, I. M.; Kapranov, M. M.; 和 Zelevinsky, A. V. "超行列式。" 数学进展 96, 226-263, 1992.Glynn, D. G. "凯莱超行列式的模对应物。" 澳大利亚数学学会公报 57, 479-497, 1998.Schläfli, L. "关于多个代数方程组的合力。" Denkschr. Kaiserl. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Klasse 4, 1852.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

超行列式

请引用为

Weisstein, Eric W. "超行列式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Hyperdeterminant.html

主题分类