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变分法

数学的一个分支，是 微积分 的一种推广。变分法旨在找到路径、曲线、曲面等，使得给定的 函数 具有 平稳值（在物理问题中，通常是 最小值 或 最大值）。在数学上，这涉及到寻找 平稳值，积分 形式如下

I=int_b^af(y,y^.,x)dx.
(1)

I 只有在 欧拉-拉格朗日微分方程 满足时才具有极值，即如果

(partialf)/(partialy)-d/(dx)((partialf)/(partialy^.))=0.
(2)

变分法基本引理指出，如果

int_a^bM(x)h(x)dx=0
(3)

对于所有具有连续二阶导数的 h(x)，则

M(x)=0
(4)

在 (a,b) 上。

变分法的一种推广，称为 莫尔斯理论 （有时也称为“大范围变分法”），使用非线性技术来解决变分问题。

参见

Beltrami 恒等式, Bolza 问题, 最速降线问题, 悬链线, 包络定理, 欧拉-拉格朗日微分方程, 等周问题, 等体积问题, Lindelöf 定理, 莫尔斯理论, Plateau 问题, 直线选取, 轮盘曲线, 偏斜四边形, 带隧道的球体, 旋转曲面, 波纹面, Weierstrass-Erdman 角点条件 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Arfken, G. "变分法章." Ch. 17 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 页 925-962, 1985.Bliss, G. A. Calculus of Variations. Chicago, IL: Open Court, 1925.Forsyth, A. R. Calculus of Variations. New York: Dover, 1960.Fox, C. An Introduction to the Calculus of Variations. New York: Dover, 1988.Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, 1992.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "变分法章." Ch. 10 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 页 314-332, 1988.Menger, K. "什么是变分法及其应用？" Part V, Ch. 8 in The World of Mathematics, Vol. 2 (Ed. K. Newman). New York: Dover, 页 886-890, 2000.Sagan, H. Introduction to the Calculus of Variations. New York: Dover, 1992.Smith, D. R. Variational Methods in Optimization. New York: Dover, 1998.Todhunter, I. History of the Calculus of Variations During the Nineteenth Century. New York: Chelsea, 1962.Weinstock, R. Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering. New York: Dover, 1974.Weisstein, E. W. "关于变分法的书籍." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/CalculusofVariations.html.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

变分法

引用为

Weisstein, Eric W. “变分法。” 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/CalculusofVariations.html

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