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柯西函数方程

柯西函数方程是以下方程

f(x+y)=f(x)+f(y).

柯西在 1821 年证明了，从 R 到 R 的此函数方程的唯一连续解是 f(x)=kx 的形式，其中 k 是某个实数。1875 年，达布 (Darboux) 证明了连续性假设可以被单点连续性所取代；五年后，他又证明了假设 f(x) 对于足够小的正数 x 是非负（或非正）的就足够了。

1905 年，G. 哈梅尔 (Hamel) 证明了柯西函数方程存在非连续解，使用了 哈梅尔基。每个非连续解必然关于 勒贝格测度 是不可测的。

希尔伯特问题 的第五个问题是这个方程的推广。

参见

阿贝尔函数方程, 函数方程, 希尔伯特问题

此条目的部分内容由 José Carlos Santos 贡献。

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参考文献

Aczél, J. Lectures on Functional Equations and Their Applications. New York: Academic Press, 1966.Broggi, U. "Sur un théorème de M. Hamel." Enseignement Math. 9, 385-387, 1907.Cauchy, A. L. Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique. Chez Debure frères, 1821.Darboux, G. "Sur la composition des forces en statique." Bull. Sci. Math. 9, 281-299, 1875.Darboux, G. "Sur le théorème fondamental de la Géométrie projective." Math. Ann. 17, 55-61, 1880.Hamel, G. "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)." Math. Ann. 60, 459-462, 1905.

在 上被引用

柯西函数方程

引用为

Santos, José Carlos 和 Weisstein, Eric W. “柯西函数方程。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CauchyFunctionalEquation.html

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