互易定理

如果存在一个有理整数 使得，当 , , 和 是 正整数时，

那么 是 的 -进剩余，即， 是 的 -进剩余 当且仅当 对于 是可解的。互易定理将 “ 是 的 -进剩余” 形式的陈述与 “ 是 的 -进剩余” 形式的互反陈述联系起来。

首先要考虑的情况是 （二次互易定理），高斯给出了第一个正确的证明。高斯还解决了 (三次互易定理) 的情况，使用了 整数 形式 ，其中 是 的根，, 是有理整数。高斯陈述了 (双二次互易定理) 的情况，使用了 高斯整数。

1844-50 年艾森斯坦和 1850-61 年库默尔给出了素数 的 -进互易性的证明。在 20 世纪 20 年代，阿廷提出了 阿廷互易定理，这是一个适用于所有阶的一般互易律。