谷山-志村猜想

谷山-志村猜想，由于其已被证明，现在有时被称为模性定理，是一个非常普遍和重要的猜想（现在是定理），它将拓扑学和数论联系起来，源于谷山在1955年国际数学研讨会上提出的几个问题。

设 是一个方程具有整数系数的椭圆曲线，设 是 的所谓的j-导子，并且对于每个 ，设 是出现在 -函数中的数字 。那么，用专业术语来说，谷山-志村猜想指出存在一个权重为 2，水平为 的模形式，它在赫克算子下是一个本征形式，并且具有傅里叶级数 。

实际上，该猜想表明每个有理椭圆曲线都伪装成一个模形式。或者，更正式地说，该猜想表明，对于每个椭圆曲线 在有理数上，存在非恒定的模函数 和 具有相同的水平 使得

等价地，对于每个椭圆曲线，都存在一个具有相同狄利克雷L-级数的模形式。

1985年，从费马大定理的虚构解（弗雷曲线）开始，G. 弗雷表明他可以创建一个不寻常的椭圆曲线，它看起来不是模的。如果该曲线不是模的，那么这将表明如果费马大定理为假，那么谷山-志村猜想也为假。此外，如果谷山-志村猜想为真，那么费马大定理也为真。

然而，弗雷实际上并没有证明他的曲线不是模的。弗雷的曲线不是模的猜想被称为“ε猜想”，并于1986年被里贝特迅速证明（里贝特定理），在两个之前看起来完全不相关的数学结构（谷山-志村猜想和费马大定理）之间建立了非常紧密的联系。

到 1990 年代初期，大多数数学家认为谷山-志村猜想无法证明。然而，A. 怀尔斯并非其中之一。他试图通过证明每个集合的数量相同，来建立椭圆曲线集合和模椭圆曲线集合之间的对应关系。怀尔斯通过“计数”伽罗瓦表示并将它们与模形式的数量进行比较来完成此操作。1993 年，经过七年艰苦卓绝的努力，怀尔斯（几乎）证明了对于称为半稳定椭圆曲线的特殊曲线类别的谷山-志村猜想（对应于具有无平方导子的椭圆曲线；Knapp 1999）。

怀尔斯曾试图使用水平岩泽理论来创建所谓的类数公式，但最初没有成功，因此转而使用了基于 Kolyvagin 思想的 Flach 结果的扩展。然而，在 1993 年 9 月审查怀尔斯的手稿时，发现此扩展存在问题。前学生理查德·泰勒在 1994 年初来到普林斯顿帮助怀尔斯修复此错误。经过额外的努力，怀尔斯发现了 Flach/Kolyvagin 方法失败的原因，并发现这恰好是阻止岩泽理论工作的原因。

有了这个额外的见解，怀尔斯能够使用岩泽理论成功地完成证明中存在错误的部分，从而证明了谷山-志村猜想的半稳定情况（Taylor 和 Wiles 1995，Wiles 1995），同时确立了费马大定理为真定理。

肯尼斯·里贝特在 1999 年 6 月 21 日的会议上宣布了完整谷山-志村猜想的证明的存在（Knapp 1999），并于 1999 年 7 月 31 日在美国国家公共广播电台的周末版上报道了此事。该证明由 Breuil et al. （2001）完成，它建立在怀尔斯和泰勒的早期工作基础上（Mackenzie 1999，Morgan 1999）。先前发布的最佳结果适用于除以 27 整除的导子之外的所有导子（Conrad et al. 1999；Knapp 1999）。Breuil et al. 对所有椭圆曲线的普遍证明消除了此限制，在此过程中依赖于怀尔斯对有理椭圆曲线的证明。