给定任何一条直线和一个不在该直线上的点， “存在一条且仅有一条直线穿过” 该点，并且无论延伸多远，都永不与第一条直线 相交。 这个陈述等同于 欧几里得公设 中的第五条公设，欧几里得本人直到《几何原本》中的命题 29 才避免使用它。 几个世纪以来，许多数学家认为这个陈述不是一个真正的公设，而是一个可以从 欧几里得公设 的前四条推导出来的定理。 （几何学中只能使用公设 1-4 推导出的部分后来被称为 绝对几何。）
多年来，许多声称证明了平行公设的证明被发表。 然而，没有一个是正确的，包括 G. S. Klügel 在他 1763 年的论文中分析的 28 个“证明”（Hofstadter 1989）。 所有这些努力的主要动机是，欧几里得的平行公设似乎不像其他公理那样“直观”，但它对于证明重要的结果是必要的。 John Wallis 提出了一个新的公理，该公理暗示了平行公设，并且也具有直观吸引力。 他的“公理”指出，任何三角形都可以放大或缩小，而不会扭曲其比例或角度（Greenberg 1994，第 152-153 页）。 然而，Wallis 的公理从未流行起来。
1823 年，Janos Bolyai 和 Lobachevsky 独立地意识到，可以创建完全自洽的“非欧几里得几何”，其中平行公设不成立。 （高斯也发现了非欧几里得几何的存在，但压制了它。）
如上所述，平行公设描述了现在被称为 欧几里得几何 的几何类型。 然而，如果将“存在一条且仅有一条直线穿过”这句话替换为“不存在穿过的直线”或“至少存在两条穿过的直线”，则该公设描述了同样有效（尽管不太直观）的几何类型，分别称为 椭圆几何 和 双曲几何。
平行公设等同于 等距公设、普莱费尔公理、普罗克洛斯公理、三角形公设 和 勾股定理。 在 希尔伯特公理 中也有一个单一的平行公理，它等同于欧几里得的平行公设。
S. Brodie 已经证明平行公设等同于 勾股定理。
