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阿贝尔群

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阿贝尔群是一个 群，其元素满足 交换律（即，AB=BA 对于所有元素 A 和 B）。 因此，阿贝尔群对应于具有 对称 乘法表的群。

所有 循环群 都是阿贝尔群，但阿贝尔群不一定是 循环群。 阿贝尔群的所有 子群 都是 正规 的。 在阿贝尔群中，每个元素都在其自身的 共轭类 中，并且 特征标表 涉及称为 群生成元 的单个元素的 幂。

在 Wolfram 语言 中，函数AbelianGroup[{n1, n2, ...}] 表示阶数为 n_1, n_2, ... 的循环群的直积。

对于给定 群的阶，没有已知的通用公式可以给出非同构 有限群 的数量。 然而，任何给定 群的阶 n 的非同构阿贝尔 有限群 a(n) 的数量由将 n 写成

n=product_(i)p_i^(alpha_i),
(1)

其中 p_i 是不同的 素因子，然后

a(n)=product_(i)P(alpha_i),
(2)

其中 P(k) 是 分拆函数，在 Wolfram 语言 中实现为FiniteAbelianGroupCount[n]。 a(n) 对于 n=1, 2, ... 的值为 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, ... (OEIS A000688)。

存在 n=1, 2, 3, ... 个非同构阿贝尔群的最小阶数是 1, 4, 8, 36, 16, 72, 32, 900, 216, 144, 64, 1800, 0, 288, 128, ... (OEIS A046056)，其中 0 表示不可能的数字（即，不是分拆数的乘积）的非同构阿贝尔群。 “缺失”的值是 13, 17, 19, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 43, 46, ... (OEIS A046064)。 阿贝尔群的最大数量作为阶数的函数是 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, ... (OEIS A046054)，这些数量出现在阶数 1, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, ... (OEIS A046055) 时。

克罗内克分解定理 指出，每个 有限 阿贝尔群都可以写成 循环群 的 群直积，循环群的 群的阶 是 素数 幂。 如果 有限群 的 群的阶 是 素数 p，则存在一个阶数为 p 的阿贝尔群（表示为 Z_p），并且没有非阿贝尔群。 如果 群的阶 是素数的平方 p^2，则存在两个阿贝尔群（表示为 Z_(p^2) 和 Z_p×Z_p）。 如果 群的阶 是素数的立方 p^3，则存在三个阿贝尔群（表示为 Z_p×Z_p×Z_p, Z_p×Z_(p^2), 和 Z_(p^3)），总共有五个群。 如果阶数是两个素数 p 和 q 的 积，则 恰好存在一个 群的阶 为 pq 的阿贝尔群（表示为 Z_p×Z_q）。

另一个有趣的结果是，如果 a(n) 表示 群的阶 为 n 的非同构阿贝尔群的数量，则

sum_(n=1)^inftya(n)n^(-s)=zeta(s)zeta(2s)zeta(3s)...,
(3)

其中 zeta(s) 是 黎曼zeta函数。

阶数 <=n 的阿贝尔群的数量由 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 25, ... (OEIS A063966) 给出，对于 n=1, 2, .... Srinivasan (1973) 也表明

sum_(n=1)^Na(n)=A_1N+A_2N^(1/2)+A_3N^(1/3)+O[N^(105/407)(lnN)^2],
(4)

其中

A_k=product_(j=1; j!=k)^(infty)zeta(j/k)
(5)
={2.294856591... for k=1; -14.6475663... for k=2; 118.6924619... for k=3,
(6)

(OEIS A021002, A084892, 和 A084893) 并且 zeta(s) 再次是 黎曼zeta函数。 请注意，Richert (1952) 错误地给出了 A_3=114。 总和 A_k 也可以写成显式形式

A_1=product_(j=2)^(infty)zeta(j)
(7)
A_2=zeta(1/2)product_(j=3)^(infty)zeta(1/2j)
(8)
A_3=zeta(1/3)zeta(2/3)product_(j=4)^(infty)zeta(1/3j).
(9)

DeKoninck 和 Ivic (1980) 表明

sum_(n=1)^N1/(a(n))=BN+O[sqrt(N)(lnN)^(-1/2)],
(10)

其中

B=product_(p){1-sum_(k=2)^(infty)[1/(P(k-1))-1/(P(k))]1/(p^k)}
(11)
=0.752...
(12)

(OEIS A084911) 是 素数 p 的乘积，并且 P(n) 再次是 分拆函数。

非同构非阿贝尔群的数量的界限由 Neumann (1969) 和 Pyber (1993) 给出。

有许多涉及阿贝尔群的数学笑话 (Renteln 和 Dundes 2005)

问：什么是紫色的并且满足交换律？ 答：阿贝尔葡萄。

问：什么是薰衣草色并且满足交换律？ 答：阿贝尔半葡萄。

问：什么是紫色的，满足交换律，并且被有限数量的人崇拜？ 答：有限崇拜的阿贝尔葡萄。

问：什么是有营养的并且满足交换律？ 答：阿贝尔汤。

参见

有限群, 群论, 克罗内克分解定理, 分拆函数 P, 环 在 MathWorld 课堂中探索此主题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arnold, D. M. 和 Rangaswamy, K. M. (编辑). 阿贝尔群和模. New York: Dekker, 1996.DeKoninck, J.-M. 和 Ivić, A. 算术函数主题：算术函数倒数和及相关领域的渐近公式. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1980.Erdős, P. 和 Szekeres, G. "关于给定阶数的阿贝尔群的数量和相关的数论问题." Acta Sci. Math. (Szeged) 7, 95-102, 1935.Finch, S. R. "阿贝尔群枚举常数." §5.1 in 数学常数. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 273-278, 2003.Fuchs, L. 和 Göbel, R. (编辑). 阿贝尔群. New York: Dekker, 1993.Kendall, D. G. 和 Rankin, R. A. "关于给定阶数的阿贝尔群的数量." Quart. J. Oxford 18, 197-208, 1947.Kolesnik, G. "关于给定阶数的阿贝尔群的数量." J. reine angew. Math. 329, 164-175, 1981.Neumann, P. M. "有限群的枚举定理." Quart. J. Math. Ser. 2 20, 395-401, 1969.Pyber, L. "枚举给定阶数的有限群." Ann. Math. 137, 203-220, 1993.Renteln, P. 和 Dundes, A. "万无一失：数学民间幽默的抽样." Notices Amer. Math. Soc. 52, 24-34, 2005.Richert, H.-E. "关于给定阶数的阿贝尔群的数量 I." Math. Zeitschr. 56, 21-32, 1952.Sloane, N. J. A. 序列 A000688/M0064, A063966, 和 A084911 in "整数序列在线百科全书."Srinivasan, B. R. "关于给定阶数的阿贝尔群的数量." Acta Arith. 23, 195-205, 1973.

在 Wolfram|Alpha 上引用

阿贝尔群

请引用为

Weisstein, Eric W. "阿贝尔群." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/AbelianGroup.html

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