连续统假设

最初由格奥尔格·康托尔提出的命题，即在“小的”无限整数集合 和“大的”无限实数集合 （“连续统”）之间，不存在具有基数的无限集合。 符号上，连续统假设是 。 希尔伯特问题的第 1a 个问题询问连续统假设是否为真。

哥德尔表明，如果将连续统假设添加到传统的 策梅洛-弗兰克尔集合论 中，则不会出现矛盾。 然而，保罗·科恩（Paul Cohen）（1963 年，1964 年）使用一种称为力迫法的技术证明，如果将连续统假设的否定添加到集合论中，也不会出现矛盾。 哥德尔和科恩的结果共同确立了连续统假设的有效性取决于所使用的集合论版本，因此是不可判定的（假设策梅洛-弗兰克尔公理以及选择公理）。

康威和盖伊（Conway and Guy）（1996 年，第 282 页）叙述了连续统假设的广义版本，最初由豪斯多夫在 1908 年提出，它也是不可判定的：对于每个 ， 是否成立？ 连续统假设从广义连续统假设中得出，因此 。

伍丁（Woodin）（2001ab, 2002）提出了一个新的合理的“公理”，该公理的采用（除了策梅洛-弗兰克尔公理和选择公理之外）将意味着连续统假设为假。 鉴于集合论学家们一段时间以来一直认为连续统假设应该是错误的，如果伍丁的公理被证明特别优雅、有用或直观，它可能会流行起来。 将此与 300 多年前欧几里得平行公设的情况进行比较很有意思，当时沃利斯提出了一个额外的公理，该公理将暗示平行公设（格林伯格 1994，第 152-153 页）。