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合流第一类超几何函数

第一类合流超几何函数 _1F_1(a;b;z) 是 超几何函数 _2F_1(a,b;c;z) 的退化形式，它作为 合流超几何微分方程 的解而出现。它也被称为库默尔第一类函数。该函数还有许多其他符号（Slater 1960, p. 2），包括 F(alpha,beta,x) (Kummer 1836), M(a,b,z) (Airey and Webb 1918), Phi(a;b;z) (Humbert 1920), 和 infty; u(a,b,x) (Magnus and Oberhettinger 1948)。合流超几何微分方程 的另一种解的形式被称为 惠特克函数。

第一类合流超几何函数在 Wolfram 语言 中被实现为Hypergeometric1F1[a, b, z].

合流超几何函数有一个由下式给出的 超几何级数

_1F_1(a;b;z)=1+a/bz+(a(a+1))/(b(b+1))(z^2)/(2!)+...=sum_(k=0)^infty((a)_k)/((b)_k)(z^k)/(k!),
(1)

其中 (a)_k 和 (b)_k 是 波赫哈默尔符号。如果 a 和 b 是 整数，a<0，并且 b>0 或 b<a，则该级数产生一个具有有限项的 多项式。如果 b 是一个 整数 <=0，则 _1F_1(a;b;z) 未定义。合流超几何函数用 拉盖尔多项式 表示为

L_n^m(x)=((m+n)!)/(m!n!)_1F_1(-n;m+1;x),
(2)

(Arfken 1985, p. 755)，并且也有一个积分表示

_1F_1(a;b;z)=(Gamma(b))/(Gamma(b-a)Gamma(a))int_0^1e^(zt)t^(a-1)(1-t)^(b-a-1)dt
(3)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 505)。

贝塞尔函数、误差函数、不完全伽玛函数、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式，以及其他函数都是该函数的特例（Abramowitz and Stegun 1972, p. 509）。库默尔证明了

e^x_1F_1(a;b;-x)=_1F_1(b-a,b,x)
(4)

(Koepf 1998, p. 42)。

库默尔第二公式 给出

_1F_1(1/2+m;2m+1;z)=M_(0,m)(z)
(5)
=z^(m+1/2)[1+sum_(p=1)^(infty)(z^(2p))/(2^(4p)p!(m+1)(m+2)...(m+p))],
(6)

其中 m!=-1/2, -1, -3/2, ....

另请参阅

合流超几何微分方程, 第二类合流超几何函数, 合流超几何极限函数, 广义超几何函数, 超几何函数, 超几何级数, 库默尔公式, q-超几何函数, 韦伯-索宁公式, 惠特克函数

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F1/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F1Regularized/

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参考文献

Abad, J. and Sesma, J. "Computation of the Regular Confluent Hypergeometric Function." Mathematica J. 5, 74-76, 1995.Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (编). "Confluent Hypergeometric Functions." Ch. 13 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 503-515, 1972.Airey, J. R. "The Confluent Hypergeometric Function." Brit. Assoc. Rep. (Oxford), 276-294, 1926.Airey, J. R. "The Confluent Hypergeometric Function." Brit. Assoc. Rep. (Leeds), 220-244, 1927.Airey, J. R. and Webb, H. A. "The Practical Importance of the Confluent Hypergeometric Function." Philos. Mag. 36, 129-141, 1918.Arfken, G. "Confluent Hypergeometric Functions." §13.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 753-758, 1985.Buchholz, H. The Confluent Hypergeometric Function with Special Emphasis on its Applications. New York: Springer-Verlag, 1969.Humbert, P. "Sur les fonctions hypercylindriques." C. R. Acad. Sci. Paris 171, 490-492, 1920.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (编). "Hypergeometric Function of Confluent Type." Appendix A, Table 19.I in Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1469, 1980.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Kummer, E. E. "Über die hypergeometrische Reihe F(a;b;x)." J. reine angew. Math. 15, 39-83, 1836.Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formeln und Lehrsätze für die speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Berlin, 1948.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 551-554 and 604-605, 1953.Slater, L. J. Confluent Hypergeometric Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1960.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Kummer Function M(a;c;x)." Ch. 47 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 459-469, 1987.Tricomi, F. G. Fonctions hypergéométriques confluentes. Paris: Gauthier-Villars, 1960.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

合流第一类超几何函数

引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "Confluent Hypergeometric Function of the First Kind." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirstKind.html

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