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Schlömilch 级数

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一个类似于 傅里叶级数 的二次连续可微函数的展开式

f(x)=1/2a_0+sum_(n=1)^inftya_nJ_0(nx)
(1)

对于 0<x<pi, 其中 J_0(x) 是第一类零阶 贝塞尔函数。系数由下式给出

a_0=2f(0)+2/piint_0^piint_0^(pi/2)uf^'(usinphi)dphidu
(2)
a_n=2/piint_0^piint_0^(pi/2)uf^'(usinphi)cos(nu)dphidu
(3)

(Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 926), 其中 f^'(x)=df/dx，应注意避免 Iyanaga 和 Kawada (1980) 以及 Itô (1986) 中的两个印刷错误。

SchloemilchSeries

例如，考虑 f(x)=x，其导数为 f^'(x)=1，因此

a_0=0+2/piint_0^piint_0^(pi/2)udphidu
(4)
=1/2pi^2
(5)
a_n=2/piint_0^piint_0^(pi/2)ucos(nu)dphidu
(6)
=(-1+(-1)^n)/(n^2)
(7)
={0 for n even; -2/(n^2) for n odd,
(8)

所以

x=1/4pi^2-2sum_(n=1,3,...)^infty(J_0(nx))/(n^2)
(9)

(Whittaker and Watson 1990, p. 378; Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 926)。上面用包含 1 项（红色）、2 项（绿色）、3 项（蓝色）和 4 项（紫色）进行了说明。

类似地，对于 -pi<x<pi，

x^2=(2pi^2)/3+8sum_(n=1)^infty((-1)^n)/(n^2)J_0(nx).
(10)

另请参阅

第一类贝塞尔函数, 傅里叶-贝塞尔级数, 傅里叶级数

使用 探索

参考文献

Chapman. Quart. J. 43, 34-37, 1912.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. "级数 sumA_kJ_0(kx)。" 积分表、级数及乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. 926, 2000.Itô, K. (Ed.). 数学百科辞典，第 2 版，卷 2。 Cambridge, MA: MIT Press, p. 1803, 1986.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (Eds.). 数学百科辞典。 Cambridge, MA: MIT Press, p. 1473, 1980.Schlömilch. Z. für Math. Phys. 3, 137-165, 1857.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. "零阶贝塞尔系数级数中任意函数的 Schlömilch 展开式。" §17.82 in 现代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 377-378, 1990.

在 中被引用

Schlömilch 级数

引用为

Weisstein, Eric W. "Schlömilch 级数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SchloemilchsSeries.html

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