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修正的第二类贝塞尔函数

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BesselK

修正的第二类贝塞尔函数是函数 K_n(x)，它是修正的贝塞尔微分方程的解之一。修正的第二类贝塞尔函数有时被称为巴塞特函数、第三类修正贝塞尔函数（Spanier 和 Oldham 1987, p. 499）或麦克唐纳函数（Spanier 和 Oldham 1987, p. 499; Samko et al. 1993, p. 20）。修正的第二类贝塞尔函数在 Wolfram 语言 中实现为BesselK[nu, z].

K_n(x) 与修正的第一类贝塞尔函数 I_n(x) 和 汉克尔函数 H_n(x) 密切相关，

K_n(x)=1/2pii^(n+1)H_n^((1))(ix)
(1)
=1/2pii^(n+1)[J_n(ix)+iN_n(ix)]
(2)
=pi/2(I_(-n)(x)-I_n(x))/(sin(npi))
(3)

（Watson 1966, p. 185）。 K_n(x) 的求和公式为

K_n(z)=1/2(1/2z)^(-n)sum_(k=0)^(n-1)((n-k-1)!)/(k!)(-1/4z^2)^k+(-1)^(n+1)ln(1/2z)I_n(z)+(-1)^n1/2(1/2z)^nsum_(k=0)^infty[psi(k+1)+psi(n+k+1)]((1/4z^2)^k)/(k!(n+k)!),
(4)

其中 psi 是双伽玛函数（Abramowitz 和 Stegun 1972）。积分公式为

K_nu(z)=(Gamma(nu+1/2)(2z)^nu)/(sqrt(pi))int_0^infty(costdt)/((t^2+z^2)^(nu+1/2))
(5)

对于 nu=0，简化为

K_0(x)=int_0^inftycos(xsinht)dt=int_0^infty(cos(xt)dt)/(sqrt(t^2+1)).
(6)

其他恒等式为

K_n(z)=(sqrt(pi))/((n-1/2)!)(1/2z)^nint_1^inftye^(-zx)(x^2-1)^(n-1/2)dx
(7)

对于 n>-1/2 和

K_n(z)=sqrt(pi/(2z))(e^(-z))/((n-1/2)!)int_0^inftye^(-t)t^(n-1/2)(1-t/(2z))^(n-1/2)dt
(8)
=sqrt(pi/(2z))(e^(-z))/((n-1/2)!)sum_(r=0)^(infty)((n-1/2)!)/(r!(n-r-1/2)!)(2z)^(-r)int_0^inftye^(-t)t^(n+r-1/2)dt.
(9)
BesselK0ReIm
BesselK0Contours

当 n=0 的特殊情况时，K_0(z) 的积分形式为

K_0(z)=int_0^inftycos(zsinht)dt
(10)
=int_0^infty(cos(zt))/(sqrt(t^2+1))dt
(11)

（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 376）。

另请参阅

第二类贝塞尔函数, 连分数常数, 修正的第一类贝塞尔函数

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "修正的贝塞尔函数 I 和 K." §9.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 374-377, 1972.Arfken, G. "修正的贝塞尔函数, I_nu(x) 和 K_nu(x)." §11.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 610-616, 1985.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "整数阶修正的贝塞尔函数" 和 "分数阶贝塞尔函数、艾里函数、球贝塞尔函数." §6.6 和 6.7 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 229-245, 1992.Samko, S. G.; Kilbas, A. A.; 和 Marichev, O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Yverdon, Switzerland: Gordon and Breach, p. 20, 1993.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "巴塞特 K_nu(x)." Ch. 51 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 499-507, 1987.Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 上被引用

修正的第二类贝塞尔函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "修正的第二类贝塞尔函数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html

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