弗罗贝尼乌斯方法

如果 是 常微分方程 的常点，则将 在关于 的 泰勒级数 中展开。通常，展开点可以取为 ，得到 麦克劳林级数

将 代回 ODE，并按 幂 对 系数 进行分组。现在，获得 项的 递推关系，并用 表示 级数展开。前几个导数的展开式为

如果 是 常微分方程 的正则奇点，

可以通过弗罗贝尼乌斯方法或在 洛朗级数 中展开来找到解。在弗罗贝尼乌斯方法中，假设解 的形式为

因此

现在，将 代回 ODE，并按 幂 对 系数 进行分组，以获得 项的递归 公式，然后用 表示 级数展开。将 项设为 0 将产生所谓的 指标方程，这将给出 级数展开 中 的允许值。

作为一个例子，考虑 贝塞尔微分方程

将 (◇) 代入 (◇) 得到

通过设置 获得的 指标方程 为

由于 被定义为第一个 非零 项，，所以 。为了说明目的，忽略 ，仅考虑 的情况（避免特殊情况 ），那么方程 (14) 要求

（所以 ）和

对于 , 3, ..., 所以

对于 。然后代回到 (◇)，重新排列和简化，得到定义 第一类贝塞尔函数 的级数解，它是 (◇) 的非奇异解。（考虑 的情况类似，并得到解 。）

福克斯定理 保证，如果展开点是常点或正则 奇点，则应用弗罗贝尼乌斯方法时，至少会获得一个 幂级数 解。对于正则 奇点，也可以使用 洛朗级数 展开。在 洛朗级数 中展开 ，令

将 代回 ODE，并按 幂 对 系数 进行分组。现在，获得 项的递归 公式，并用 表示 泰勒级数。