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Whittaker 函数

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Whittaker 函数作为 Whittaker 微分方程的解而出现。这个方程的线性独立解是

M_(k,m)(z)=z^(m+1/2)e^(-z/2)sum_(n=0)^(infty)((m-k+1/2)_n)/(n!(2m+1)_n)z^n
(1)
=z^(1/2+m)e^(-z/2)[1+(1/2+m-k)/(1!(2m+1))z+((1/2+m-k)(3/2+m-k))/(2!(2m+1)(2m+2))z^2+...]
(2)

和 M_(k,-m)(z)，其中是第二类合流超几何函数，而 (z)_n 是 Pochhammer 符号。用第一类和第二类合流超几何函数表示，这些解是

M_(k,m)(z)=e^(-z/2)z^(m+1/2)_1F_1(1/2+m-k,1+2m;z)
(3)
W_(k,m)(z)=e^(-z/2)z^(m+1/2)U(1/2+m-k,1+2m;z)
(4)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 505; Whittaker 和 Watson 1990, pp. 339-351)。

这些函数在 Wolfram 语言中实现为WhittakerM[k, m, z] 和WhittakerW[k, m, z]，分别地。

Whittaker 和 Watson (1990, p. 340) 定义

W_(k,m)(z)=(e^(-z/2)z^k)/(Gamma(1/2-k+m))×int_0^inftyt^(-k-1/2+m)(1+t/z)^(k-1/2+m)e^(-t)dt
(5)

当 R[k-1/2-m]<=0 且 k-1/2-m 不是整数时。

一个特殊情况由下式给出

erfc(x)=(e^(-x^2/2))/(sqrt(pix))W_(-1/4,1/4)(x^2)
(6)

对于 x>0 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 341, 调整了 erfc(z) 的归一化以符合现代约定)。

Whittaker 函数通过下式与抛物柱面函数相关

D_n(z)=1/(sqrt(z))2^(n/2+1/4)W_(n/2+1/4,-1/4)(1/2z^2).
(7)

当 |argz|<3pi/2 且 2m 不是整数时，

W_(k,m)(z)=(Gamma(-2m))/(Gamma(1/2-m-k))M_(k,m)(z)+(Gamma(2m))/(Gamma(1/2+m-k))M_(k,-m)(z).
(8)

当 |arg(-z)|<3pi/2 且 2m 不是整数时，

W_(-k,m)(-z)=(Gamma(-2m))/(Gamma(1/2-m-k))M_(-k,m)(-z)+(Gamma(2m))/(Gamma(1/2+m+k))M_(-k,-m)(-z).
(9)

Whittaker 函数满足递推关系

W_(k,m)(z)=z^(1/2)W_(k-1/2,m-1/2)(z)+(1/2-k+m)W_(k-1,m)(z)
(10)
W_(k,m)(z)=z^(1/2)W_(k-1/2,m+1/2)(z)+(1/2-k-m)W_(k-1,m)(z)
(11)
zW_(k,m)^'(z)=(k-1/2z)W_(k,m)(z)-[m^2-(k-1/2)^2]W_(k-1,m)(z).
(12)

另请参阅

缔合拉盖尔多项式, 第二类合流超几何函数, Cunningham 函数, 库默尔公式, Schlömilch 函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "合流超几何函数." 第 13 章，数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约: Dover, pp. 503-515, 1972.Becker, P. A. "关于 Whittaker 函数乘积对第二指标的积分." J. Math. Phys. 45, 761-773, 2004.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (编). "Whittaker 函数." 附录 A，表 19.II，数学百科辞典。 剑桥，马萨诸塞州: MIT Press, pp. 1469-1471, 1980.Meijer, C. S. "关于 Whittaker 函数 W_(k,m)(z) 以及 Hankel 和 Bessel 函数的积分表示." Nieuw Arch. Wisk. 18, 35-57, 1936.Whittaker, E. T. "作为广义超几何函数的某些已知函数的表达式." Bull. Amer. Math. Soc. 10, 125-134, 1904.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版。 英国剑桥: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Whittaker 函数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Whittaker 函数." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WhittakerFunction.html

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