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第二类贝塞尔函数

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BesselY

第二类贝塞尔函数 Y_n(x) （例如，Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 703, eqn. 6.649.1），有时也表示为 N_n(x) （例如，Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 657, eqn. 6.518），是贝塞尔微分方程的一个解，该解在原点处是奇点。第二类贝塞尔函数也称为诺伊曼函数或韦伯函数。上面的图显示了 Y_n(x) 对于 n=0、1、2、...、5。第二类贝塞尔函数在 Wolfram 语言中实现为BesselY[nu, z]。

设 v=J_m(x) 为第一个解，u 为另一个解（因为贝塞尔微分方程是二阶的，所以存在两个线性无关解）。那么

xu^('')+u^'+xu=0
(1)
xv^('')+v^'+xv=0.
(2)

取 v× (1) 减去 u× (2),

x(u^('')v-uv^(''))+u^'v-uv^'=0
(3)
d/(dx)[x(u^'v-uv^')]=0,
(4)

因此 x(u^'v-uv^')=B，其中 B 是一个常数。除以 xv^2,

(u^'v-uv^')/(v^2)=d/(dx)(u/v)=B/(xv^2)
(5)
u/v=A+Bint(dx)/(xv^2).
(6)

重新排列并使用 v=J_m(x) 得到

u=AJ_m(x)+BJ_m(x)int(dx)/(xJ_m^2(x))
(7)
=A^'J_m(x)+B^'Y_m(x),
(8)

其中 Y_m 是所谓的第二类贝塞尔函数。

Y_nu(z) 可以定义为

Y_nu(z)=(J_nu(z)cos(nupi)-J_(-nu)(z))/(sin(nupi))
(9)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 358)，其中 J_nu(z) 是第一类贝塞尔函数，并且对于 nu 为整数 n，由级数

Y_n(z)=-((1/2z)^(-n))/pisum_(k=0)^(n-1)((n-k-1)!)/(k!)(1/4z^2)^k+2/piln(1/2z)J_n(z)-((1/2z)^n)/pisum_(k=0)^infty[psi_0(k+1)+psi_0(n+k+1)]((-1/4z^2)^k)/(k!(n+k)!),
(10)

其中 psi_0(x) 是双伽玛函数（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 360）。

该函数具有积分表示

Y_nu(z)=1/piint_0^pisin(zsintheta-nutheta)dtheta-1/piint_0^infty[e^(nut)+e^(-nut)(-1)^nu]e^(-zsinht)dt
(11)
=-(2(1/2z)^(-nu))/(sqrt(pi)Gamma(1/2-nu))int_1^infty(cos(zt)dt)/((t^2-1)^(nu+1/2))
(12)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 360)。

渐近级数为

Y_m(x)∼{2/pi[ln(1/2x)+gamma] m=0,x<<1; -(Gamma(m))/pi(2/x)^m m!=0,x<<1
(13)
Y_m(x)∼sqrt(2/(pix))sin(x-(mpi)/2-pi/4) x>>1,
(14)

其中 Gamma(z) 是伽玛函数。

BesselY0ReIm
BesselY0Contours

对于特殊情况 n=0，Y_0(x) 由以下级数给出

Y_0(z)=2/pi{[ln(1/2z)+gamma]J_0(z)+sum_(k=1)^infty(-1)^(k+1)H_k((1/4z^2)^k)/((k!)^2)},
(15)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 360)，其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，H_n 是调和数。

另请参阅

第一类贝塞尔函数, 布尔热假设, 汉克尔函数, 第一类修正贝塞尔函数, 第二类修正贝塞尔函数

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselY/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "贝塞尔函数 J 和 Y。" §9.1 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 358-364, 1972.Arfken, G. "诺伊曼函数，第二类贝塞尔函数，N_nu(x)。" §11.3 in 物理学家数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 596-604, 1985.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 积分表、级数表和乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, 2000.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 625-627, 1953.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "诺伊曼函数 Y_nu(x)。" Ch. 54 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 533-542, 1987.Watson, G. N. 贝塞尔函数理论专著，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

第二类贝塞尔函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "第二类贝塞尔函数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BesselFunctionoftheSecondKind.html

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