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正交圆

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OrthogonalCircles

正交圆是正交曲线，即它们以直角相交。根据勾股定理，半径为 r_1 和 r_2 且圆心距离为 d 的两个圆正交，如果

r_1^2+r_2^2=d^2.
(1)

具有笛卡尔方程的两个圆

x^2+y^2+2gx+2fy+c=0
(2)
x^2+y^2+2g^'x+2f^'y+c^'=0
(3)

正交，如果

2gg^'+2ff^'=c+c^'.
(4)
OrthogonalCirclesTheorem

欧几里得定理指出，对于上图中的正交圆，

OP×OQ=OT^2
(5)

(Dixon 1991, 第 65 页)。

三个给定圆的根轴交于根心 R。如果一个以 R 为圆心的圆与这三个圆中的任何一个正交相交，则它与所有三个圆都正交相交。这个圆称为该系统的正交圆（或根圆）。正交圆是相对于三个给定圆的极线共点的点的轨迹（Lachlan 1893, 第 237 页）。

下表列出了与各种命名圆正交的圆。

圆正交圆
阿波罗尼斯圆Stevanović 圆
Bevan 圆Stevanović 圆
Brocard 圆Parry 圆
外接圆Parry 圆, Stevanović 圆
旁切圆根圆Stevanović 圆
Lester 圆垂心质心圆
Lucas 圆根圆Parry 圆
九点圆Stevanović 圆
垂心质心圆Lester 圆, Stevanović 圆
施泰纳内切椭圆的等角圆极圆, Stevanović 圆
Parry 圆Brocard 圆, 外接圆, Lucas 圆根圆, Lucas 内圆
极圆第二 Droz-Farny 圆, Stevanović 圆
第二 Droz-Farny 圆极圆
Stevanović 圆阿波罗尼斯圆, Bevan 圆, 外接圆, 旁切圆根圆, 九点圆, 垂心质心圆, 施泰纳内切椭圆的等角圆, 极圆, 切线圆
切线圆Stevanović 圆

另请参阅

圆, 中点圆, 蒙日问题, 根心, 根圆

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参考文献

Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 42, 1888.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 65-66, 1991.Durell, C. V. "Orthogonal Circles." Ch. 8 in Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 88-92, 1928.Euclid. The Thirteen Books of the Elements, 2nd ed. unabridged, Vol. 3: Books X-XIII. New York: Dover, p. 36, 1956.Lachlan, R. An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, 1893.Pedoe, D. Circles: A Mathematical View, rev. ed. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. xxiv, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中引用

正交圆

引用为

Weisstein, Eric W. "正交圆。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/OrthogonalCircles.html

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