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阿波罗尼奥斯问题

ApolloniusCircles
ApolloniusCircles8

给定三个对象，每个对象可以是点、线或圆，绘制一个与每个对象相切的圆。共有十种情况。最简单的两种情况涉及三个点或三条线，最难的情况涉及三个圆。欧几里得在他的《几何原本》中解决了最简单的两种情况，其他情况（除了三个圆的问题）出现在阿波罗尼奥斯的《切触》中，但该书已遗失。原则上，一般问题可以通过直尺和圆规单独解决。

ApolloniusCircleConstr

三圆问题由韦达 (Boyer 1968) 解决，其解称为阿波罗尼奥斯圆。共有八个解。最简单的解是通过求解以下三个联立二次方程获得

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2-(r+/-r_1)^2=0
(1)
(x-x_2)^2+(y-y_2)^2-(r+/-r_2)^2=0
(2)
(x-x_3)^2+(y-y_3)^2-(r+/-r_3)^2=0
(3)

在三个未知数 x、y、r 中，对于符号的八个三元组 (Courant and Robbins 1996)。展开方程得到

(x^2+y^2-r^2)-2xx_i-2yy_i∓2rr_i+(x_i^2+y_i^2-r_i^2)=0
(4)

对于 i=1, 2, 3。由于第一项对于每个方程都相同，取 (2)-(1) 和 (3)-(1) 得到

ax+by+cr=d
(5)
a^'x+b^'y+c^'r=d^',
(6)

其中

a=2(x_1-x_2)
(7)
b=2(y_1-y_2)
(8)
c=2(+/-r_1+/-r_2)
(9)
d=(x_1^2+y_1^2-r_1^2)-(x_2^2+y_2^2-r_2^2)
(10)

以及类似的 a^'、b^'、c^' 和 d^' （其中下标 2 被 3 替换）。求解这两个联立线性方程组得到

x=(b^'d-bd^'-b^'cr+bc^'r)/(ab^'-ba^')
(11)
y=(-a^'d+ad^'+a^'cr-ac^'r)/(ab^'-a^'b),
(12)

然后可以将其代回二次方程 (1) 中，并使用二次公式求解。

最优雅的解法可能归功于热尔岗日。它通过定位三个给定圆的六个位似中心（三个内位似中心和三个外位似中心）来进行。这些中心三个一组地位于四条线上（如上图所示）。确定其中一条线相对于三个圆中每一个的反演极点，并将反演极点与根心连接起来。圆的根心。如果连接线相交，则三对交点是八个圆中两个圆的切点 (Petersen 1879, Johnson 1929, Dörrie 1965)。要确定哪两对是由这三对产生的八个阿波罗尼奥斯圆，只需取仅在单个切点与原始三个圆相交的两个圆即可。重复该过程，得到另外三对圆。

如果三个圆彼此相切，则八个解坍缩为两个，称为索迪圆。

拉莫尔 (1891) 和拉奇兰 (1893, pp. 244-251) 考虑了四个圆具有公共相切圆的问题。

另请参阅

阿波罗尼奥斯点, 阿波罗尼奥斯追逐问题, 弯曲, 凯西定理, 圆三角形, 笛卡尔圆定理, 四币问题, 哈特圆, 哈特定理, 索迪圆

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参考文献

Altshiller-Court, N. College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools, 2nd ed., rev. enl. New York: Barnes and Noble, p. 226, 1952.Boyer, C. B. A History of Mathematics. New York: Wiley, p. 159, 1968.Courant, R. and Robbins, H. "Apollonius' Problem." §3.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 117 and 125-127, 1996.Dörrie, H. "The Tangency Problem of Apollonius." §32 in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 154-160, 1965.F. Gabriel-Marie. Exercices de géométrie. Tours, France: Maison Mame, pp. 18-20 and 663, 1912.Gauss, C. F. Werke, Band 4. New York: George Olms, p. 399, 1981.Gergonne, M. "Recherche du cercle qui en touche trois autres sur une sphère." Ann. math. pures appl. 4, 1813-1814.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 118-121, 1929.Lachlan, R. "Circles with Touch Three Given Circles" and "Systems of Four Circles Having a Common Tangent Circle." §383-396 in An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 241-251, 1893.Larmor, A. "Contacts of Systems of Circles." Proc. London Math. Soc. 23, 136-157, 1891.Ogilvy, C. S. Excursions in Geometry. New York: Dover, pp. 48-51, 1990.Pappas, T. The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 151, 1989.Petersen, J. Example 403 in Methods and Theories for the Solution of Problems of Geometrical Constructions, Applied to 410 Problems. London: Sampson Low, Marston, Searle & Rivington, pp. 94-95, 1879.Rouché, E. and de Comberousse, C. Traité de géométrie plane. Paris: Gauthier-Villars, pp. 297-303, 1900.Salmon, G. Conic Sections, 6th ed. New York: Chelsea, pp. 88-135, 1960.Simon, M. Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert. Leipzig: Teubner, pp. 97-105, 1906.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 4-5, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

阿波罗尼奥斯问题

请引用为

Weisstein, Eric W. "阿波罗尼奥斯问题。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ApolloniusProblem.html

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