相切圆

两个圆，圆心位于 ，半径为 ，对于 ，如果它们相互相切，则

(1)

如果第二个圆的圆心在第一个圆的内部，那么 和 符号都对应于内切圆。如果第二个圆的圆心在第一个圆的外部，那么 符号对应于外切圆，而 符号对应于内切圆。

找到与三个给定圆相切的圆被称为阿波罗尼斯问题。Desborough Mirror 是一面美丽的青铜镜子，在公元前 50 年至公元 50 年的铁器时代制造，由精确相切的圆弧组成（Wolfram 2002, pp. 43 和 873）。

给定三个不同的非共线点 、 和 ，将三角形 的边长表示为 、 和 。现在绘制三个圆，每个圆分别以每个点为圆心，并且每个圆与其他两个圆相切（左图），并将半径称为 、、。

有趣的是，这些圆的成对外部相似中心是三个 Nobbs 点 (P. Moses, 私人通讯, 3 月 14 日, 2005)。

这三个圆满足

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（右图）。求解半径得到

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将这些方程代入 半周长 的方程

(8)

得到

(9)

因此

(10)

此外，

(11)

将 和 切换到方程的相对侧，并注意到上述论证同样适用于 和 ，然后得到三个圆的半径为

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			(13)
			(14)

这三个圆的成对切点正是 的切点三角形 的顶点，即内切圆与原始三角形相切的点形成的三角形。与这三个圆内切和外切的圆被称为索迪圆。

没有任何 Kimberling 中心位于任何相切圆上。

相切圆的根圆是内切圆。

两个半径为 和 的圆，圆心距离为 ，如果它们外切，则

(15)

如果它们内切，则

(16)

下表总结了一些常见的命名圆的相切圆。可以看出，内切圆、九点圆和摩西圆在费尔巴哈点相互相切。

有四个圆与给定三角形的所有三条边（或其延长线）相切：内切圆 和三个旁切圆 、 和 。这四个圆又都与九点圆 相切。

如果两个圆 和 ，半径分别为 和 ，彼此相切并与一条直线相切，那么它们的圆心之间的水平距离可以通过求解以下方程得到

(17)

求解 ，得到

(18)

可以通过解联立方程组找到与前两个圆和直线相切的第三个圆的位置和半径

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求解 和 ，得到

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后一个方程可以写成以下形式

(23)

这个问题在 1824 年在群马县的一块匾额上作为一个日本寺庙问题给出 (Rothman 1998)。