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Barnes G-函数

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Barnes G-函数是 解析延拓，它是 G-函数在 Glaisher-Kinkelin 常数的构造中定义的。

G(n)=([Gamma(n)]^(n-1))/(H(n-1))
(1)

对于 n>0，其中 H(n) 是 超阶乘，它具有特殊值

G(n)={0 if n=0,-1,-2,...; 1 if n=1; 0!1!2!...(n-2)! if n=2,3,...
(2)

对于 整数 n。此函数是 超阶乘（Sloane 和 Plouffe 1995）的移位版本，对于 n=0、1、2、... 的值由 0, 1, 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, ... (OEIS A000178) 给出。

Barnes G-函数可以出现在数学物理学中的谱函数中 (Voros 1987)。

它在 Wolfram 语言中实现为BarnesG[n]。它的 自然对数 的一个特殊版本，针对大 n 进行了优化，在 Wolfram 语言中实现为LogBarnesG[n]。

复数 G-函数的 Barnes z 可以定义为

G(z+1)=(2pi)^(z/2)e^(-[z(z+1)+gammaz^2]/2)product_(n=1)^infty[(1+z/n)^ne^(-z+z^2/(2n))],
(3)

其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 264; Voros 1987)。乘积可以以闭合形式完成，得到恒等式

G(z)=(e^(1/12-zeta^'(-1,z))[Gamma(z)]^(z-1))/A
(4)

对于 R[z]>0，其中 zeta^'(-1,z) 是 Hurwitz zeta 函数的导数，Gamma(z) 是 伽玛函数，而 A 是 Glaisher-Kinkelin 常数。另一个优雅的闭合形式表达式由下式给出

G(z)=(2pi)^(z/2)e^((z-1)[lnGamma(z)-z/2]-gamma_(-2)(z)),
(5)

其中 gamma_(-2)(z) 是负阶的 多伽玛函数。Barnes G-函数和 超阶乘 H(z) 满足关系式

H(z-1)G(z)=e^((z-1)lnGamma(z))
(6)

对于所有复数 z，其中 lnGamma(z) 是 对数伽玛函数。

G(z) 是一个 整函数，类似于 1/Gamma(z)，只是它的阶数为 2 而不是 1。

BarnesG

Barnes G-函数在上面绘制，评估为整数值。整数值 Barnes G-函数的一个略微变体有时被称为 超阶乘。

Barnes G-函数满足泛函方程

G(z+1)=Gamma(z)G(z),
(7)

并具有 泰勒级数

lnG(z+1)=1/2[ln(2pi)-1]z-(1+gamma)(z^2)/2+sum_(n=3)^infty(-1)^(n-1)zeta(n-1)(z^n)/n
(8)

在 |z|<1 中。它也给出了有限乘积的解析解

product_(i=1)^nGamma(k+i)=(G(n+k+1))/(G(k+1)).
(9)

Barnes G-函数具有等效的反射公式

(G^'(z+1))/(G(z+1))=1/2ln(2pi)+1/2-z+z(Gamma^'(z))/(Gamma(z))
(10)
ln[(G(1-z))/(G(1+z))]=piint_0^zzcot(piz)dz-zln(2pi)
(11)
(G(1/2+z))/(G(1/2-z)) =((2pi)^z)/(Gamma(1/2+z))sqrt(pi/(cos(piz)))exp[piint_0^zztan(piz)dz]
(12)

(Voros 1987; Whittaker 和 Watson 1990, p. 264)。

导数由下式给出

d/(dz)G(z)=G(z)[(z-1)psi_0(z)-z+1/2ln(2pi)+1/2],
(13)

其中 psi_0(z) 是 双伽玛函数。

对于 R[z]>0，当 z->infty 时，Barnes G-函数的类 Stirling 渐近级数由下式给出

lnG(1+z)∼z^2(1/2lnz-3/4)+1/2ln(2pi)z-1/(12)lnz+zeta^'(-1)+O(1/z)
(14)

(Voros 1987)。这可以更精确地表示为

lnG(1+z)∼z^2(1/2lnz-3/4)+1/2ln(2pi)z-1/(12)lnz+zeta^'(-1) +sum_(k=1)^n(B_(2k+2))/(4k(k+1)z^(2k))+O(1/(z^(2n+2))),
(15)

其中 B_k 是 伯努利数 (Adamchik 2001b; 勘误已修正)。

G(n) 具有特殊值

G(1/4)=A^(-9/8)Gamma^(-3/4)(1/4)e^(3/32-K/(4pi))
(16)
G(3/4)=A^(-9/8)Gamma^(-1/4)(3/4)e^(3/32+K/(4pi))
(17)
=A^(-9/8)2^(-1/8)pi^(-1/4)Gamma^(1/4)(1/4))e^(3/32+K/(4pi))
(18)

(OEIS A087013 和 A087015) 对于 n=k/4，其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，K 是 Catalan 常数，A 是 Glaisher-Kinkelin 常数，并且

G(1/2)=A^(-3/2)pi^(-1/4)e^(1/8)2^(1/24)
(19)
G(3/2)=A^(-3/2)pi^(1/4)e^(1/8)2^(1/24)
(20)
G(5/2)=A^(-3/2)pi^(3/4)e^(1/8)2^(-23/24),
(21)

(OEIS A087014, A087016, 和 A087017) 对于 n=k/2，其中 zeta^'(-1) 是 黎曼 zeta 函数在 -1 处求导的值。一般情况下，对于奇数 n=2k+1,

G(k-1/2)=c_k(pi^((2k-3)/4)e^(1/8)2^(1/24))/(2^((k-1)(k-2)/2)A^(3/2)),
(22)

其中

c_k=product_(i=1)^(k-2)(2^iGamma(1/2+i))/(sqrt(pi))
(23)

对于 k>1，其中前几项是 1, 1, 1, 3, 45, 4725, 4465125, ... (OEIS A057863)。

Erdélyi等人 (1981, p. 20) 定义的另一个 G-函数为

G(z)=psi_0(1/2+hz)-psi_0(1/2z),
(24)

其中 psi_0(z) 是 双伽玛函数。一对不相关的函数表示为 g_n 和 G_n，被称为 Ramanujan g- 和 G-函数。

另请参阅

欧拉-马歇罗尼常数, G-函数, Glaisher-Kinkelin 常数, 超阶乘, K-函数, Meijer G-函数, Ramanujan g- 和 G-函数, 超阶乘

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参考文献

Adamchik, V. "关于 Barnes 函数。" 2001 年国际符号和代数计算研讨会论文集（2001 年 7 月 22-25 日，加拿大伦敦）。 纽约：Academic Press，pp. 15-20, 2001a.Adamchik, V. "Barnes 函数的符号和数值计算。" 在 第七届计算机代数应用国际会议电子论文集。美国新墨西哥州阿尔伯克基技术职业学院。2001 年 5 月 31 日至 6 月 3 日 (Ed. M. Wester). 2001b. http://math.unm.edu/ACA/2001/Proceedings/SymNum/Adamchik_paper.pdf.Barnes, E. W. "G-函数的理论。" Quart. J. Pure Appl. Math. 31, 264-314, 1900.Dyson, F. J. "Fredholm 行列式和逆散射问题。" Commun. Math. Phys. 47, 171-183, 1976.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. 高等超越函数，第 1 卷。 纽约：Krieger, 1981.Glaisher, J. W. L. "关于数值连乘积。" Messenger Math. 6, 71-76, 1877.Glaisher, J. W. L. "关于乘积 1^12^23^3...n^n。" Messenger Math. 7, 43-47, 1878.Glaisher, J. W. L. "关于某些数值乘积。" Messenger Math. 23, 145-175, 1893.Glaisher, J. W. L. "关于公式 1^12^23^3...n^n 中出现的常数。" Messenger Math. 24, 1-16, 1894.Kinkelin, H. "关于与伽玛函数相关的超越函数及其在积分计算中的应用。" J. reine angew. Math. 57, 122-158, 1860.Lenard, A. "关于大型 Toeplitz 矩阵的一些评论。" Pacific J. Math. 42, 137-145, 1972.McCoy, B. 和 Wu, T. T. 二维伊辛模型。 马萨诸塞州剑桥：Harvard University Press，p. 264 和附录 B，1973.Mitra, S. 和 Nijenhuis, B. "稠密 O(1) 环模型在圆柱体上相关性的精确猜想表达式。" JSTAT, P10006, 2004.Sloane, N. J. A. 序列 A000178/M2049, A057863, A087013, A087014, A087015, A087016, 和 A087017，在 "整数序列在线百科全书" 中。Sloane, N. J. A. 和 Plouffe, S. 整数序列百科全书。 圣地亚哥：Academic Press, 1995.Voros, A. "谱函数，特殊函数和 Selberg Zeta 函数。" Commun. Math. Phys. 110, 439-465, 1987.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版。 英国剑桥：Cambridge University Press，p. 264, 1990.Widom, H. "圆弧的强 Szegö 极限定理。" Indiana Univ. Math. J. 21, 277-283, 1971.Widom, H. "具有奇异生成函数的 Toeplitz 行列式。" Amer. J. Math. 95, 333-383, 1973.

在 Wolfram|Alpha 上引用

Barnes G-函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Barnes G-函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BarnesG-Function.html

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