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阿廷常数

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设 n 为正的非平方整数。然后阿廷推测，对于 集合 S(n) 中所有的 素数，n 是一个 原根，这样的素数有无穷多个。在 广义黎曼猜想 的假设下，Hooley (1967; Finch 2003, p. 105) 解决了阿廷猜想。

设 n 不是任何 r 次 幂，对于任何 r>1，使得 无平方因子 部分 n^' 的 n 满足 n^'≢1 (mod 4)。设 S^'(n) 为所有素数的集合，对于这些素数，这样的 n 是一个 原根。然后阿廷还推测，S^'(n) 相对于 素数 的密度与 n 的选择无关，由 C_(Artin) 给出，其中

C_(Artin)=product_(k=1)^infty[1-1/(p_k(p_k-1))]=0.3739558136...
(1)

(OEIS A005596), 并且 p_k 是第 k 个 素数。

阿廷常数的重要性通过将其描述为 素数 p 的分数更容易理解，对于这些素数，1/p 具有最大周期 循环小数，即 p 是一个 全循环素数 (Conway and Guy 1996) 对应于一个 循环数。

C_(Artin) 与 素数 Zeta 函数 P(n) 相关联，关系如下：

lnC_(Artin)=-sum_(n=2)^infty((L_n-1)P(n))/n,
(2)

其中 L_n 是一个 卢卡斯数 (Ribenboim 1998, Gourdon and Sebah)。Wrench (1961) 给出了 C_(Artin) 的 45 位数字，Gourdon 和 Sebah 给出了 60 位。

如果 n^'=1 (mod 4) 且 n 仍然被限制为不是 r 次幂，那么密度不是 C_(Artin) 本身，而是它的一个有理倍数。在这种情况下，计算密度的显式公式被推测为

C_(Artin)^'=[1-mu(n^')product_(prime q; q|n^('))1/(q^2-q-1)]C_(Artin)
(3)

(Matthews 1976, Finch 2003)，其中 mu(n) 是 莫比乌斯函数。特殊情况可以针对 n^'=p 为 素数 的情况显式写出：

C_(Artin)^'=(1+1/(p^2-p-1))C_(Artin),
(4)

或 n^'=pq，其中 p,q 都是 素数，且 u,v=1 (mod 4)，

C_(Artin)^'=(1+1/(p^2-p-1)1/(q^2-q-1))C_(Artin),
(5)

如果 n 是一个完全立方数（但不是完全平方数），一个完全五次方数（但不是完全平方数或完全立方数）等等，则适用其他公式 (Hooley 1967, Western and Miller 1968)。

另请参阅

阿廷猜想, 巴尔班常数, 循环数, 十进制展开, 费勒-托尼尔常数, 全循环素数, 希思-布朗-莫罗兹常数, 村田常数, 素数乘积, 原根, 二次类数常数, 萨纳克常数, 斯蒂芬斯常数, 谷口常数, 孪生素数常数

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参考文献

Artin, E. Collected Papers (Ed. S. Lang and J. T. Tate). New York: Springer-Verlag, pp. viii-ix, 1965.Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 169, 1996.Finch, S. R. "Artin's Constant." §2.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 104-110, 2003.Gourdon, X. and Sebah, P. "Some Constants from Number Theory." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/constantsNumTheory.html.Hooley, C. "On Artin's Conjecture." J. reine angew. Math. 225, 209-220, 1967.Hooley, C. Applications of Sieve Methods to the Theory of Numbers. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1976.Ireland, K. and Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1990.Lehmer, D. H. and Lehmer, E. "Heuristics Anyone?" In Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in Honor of George Pólya (Ed. G. Szegö, C. Loewner, S. Bergman, M. M. Schiffer, J. Neyman, D. Gilbarg, and H. Solomon). Stanford, CA: Stanford University Press, pp. 202-210, 1962.Lenstra, H. W. Jr. "On Artin's Conjecture and Euclid's Algorithm in Global Fields." Invent. Math. 42, 201-224, 1977.Matthews, K. R. "A Generalization of Artin's Conjecture for Primitive Roots." Acta Arith. 29, 113-146, 1976.Ram Murty, M. "Artin's Conjecture for Primitive Roots." Math. Intell. 10, 59-67, 1988.Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, 1996.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 80-83, 1993.Sloane, N. J. A. Sequence A005596/M2608 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Western, A. E. and Miller, J. C. P. Tables of Indices and Primitive Roots. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. xxxvii-xlii, 1968.Wrench, J. W. "Evaluation of Artin's Constant and the Twin Prime Constant." Math. Comput. 15, 396-398, 1961.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

阿廷常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "阿廷常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ArtinsConstant.html

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