幂塔

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阶数为的幂塔定义为

(1)

其中是 Knuth 上箭头表示法 (Knuth 1976)，它又被定义为

(2)

以及

			(3)
			(4)

Rucker (1995, p. 74) 使用符号

(5)

并将此运算称为“四次运算”或“迭代幂次”。

幂塔可以在 Wolfram 语言中实现为

  PowerTower[a_, k_Integer] := Nest[Power[a, #]&, 1, k]

或

  PowerTower[a_, k_Integer] := Power @@ Table[a, {k}]

下表给出了在 , 2, ... 和较小的时的值。

	OEIS
1	A000027	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
2	A000312	1, 4, 27, 256, 3125, 46656, ...
3	A002488	1, 16, 7625597484987, ...
4		1, 65536, ...

下表给出了在 , 2, ... 和较小的时的值。

	OEIS
1	A000012	1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
2	A014221	2, 4, 16, 65536, , ...
3	A014222	3, 27, 7625597484987, ...
4		4, 256, , ...

考虑并令定义为

$a_(mn)={1 if n=0; 1/(n!) if m=1; 1/nsum_(j=1)^(n)ja_(m,n-j)a_(m-1,j-1) otherwise$

(6)

(Galidakis 2004)。那么对于 , (e^z)^((e^z)^(·^(·^(·^((e^z))))))_()_(m) 是整函数，其级数展开为

(7)

类似地，对于 , 在属于主分支的定义域内是解析的，其级数展开为

(8)

对于 , 且 ,

int(e^x)^((e^x)^(·^(·^(·^((e^x))))))_()_(m)dx=sum_(n=0)^m((n+1)^(n-2))/(n!)x^(n+1)
+sum_(n=m+1)^infty(a_(mn))/(n+1)x^(n+1).

(9)

对于 , 且 , 且

intx^(x^(·^(·^(·^x))))_()_(m)dx=sum_(n=0)^m((-1)^n(n+1)^(n-1))/(n!)b(n+1,x)
+sum_(n=m+1)^infty(-1)^na_(mn)b(n+1,x).

(10)

最小值

最大值

	最小值	最大值
实部
虚部

无限幂塔的值，其中是的缩写，可以通过以下方式解析计算

(11)

两边取对数并代回得到

(12)

解出得到

(13)

其中是 Lambert W 函数 (Corless et al. 1996)。收敛当且仅当 (；OEIS A073230 和 A073229)，正如 Euler (1783) 和 Eisenstein (1844) 所证明的 (Le Lionnais 1983; Wells 1986, p. 35)。

Knoebel (1981) 给出了的以下级数

			(14)
			(15)

(Vardi 1991)。

特殊值由下式给出

			(16)
			(17)
			(18)

(OEIS A077589 和 A077590; Macintyre 1966)。

另请参阅

阿克曼函数, 指数阶乘, 指数函数, 费马数, 乔伊斯序列, Knuth 上箭头表示法, Lambert W 函数, 米尔斯常数, MRB 常数, 嵌套根式, Omega 常数, 幂, 大学生的梦想, 斯坦纳问题

本条目的部分内容由 Ioannis Galidakis 贡献

使用探索

更多尝试

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版印刷。 New York: Dover, 1972.Ash, J. M. "The Limit of

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