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哈达玛乘积

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HadamardProduct

哈达玛乘积是黎曼zeta函数的一种表示，表示为其非平凡零点 rho,

zeta(s)=(e^([ln(2pi)-1-gamma/2]s))/(2(s-1)Gamma(1+1/2s))product_(rho)(1-s/rho)e^(s/rho),
(1)

其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，Gamma(z) 是Gamma函数 (Titchmarsh 1987, Voros 1987)。 指数中的常数由下式给出

A=ln(2pi)-1-1/2gamma
(2)
=0.549269234...
(3)

(OEIS A077142)。 哈达玛使用魏尔斯特拉斯乘积定理推导出这个结果。 上图显示了使用前 100 个（红色）、500 个（黄色）、1000 个（绿色）和 2000 个（蓝色）黎曼zeta函数零点，公式沿实轴的收敛性。

该乘积也可以用另一种形式表示

xi(s)=-e^(-A^'s)product_(rho)(1-s/rho)e^(s/rho),
(4)

其中 xi(s) 是xi函数，并且

A^'=-1/2gamma-1+1/2ln(4pi)
(5)

(Havil 2003, p. 204)。

另请参阅

黎曼 Zeta 函数, 黎曼 Zeta 函数零点, 魏尔斯特拉斯乘积定理

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参考文献

Havil, J. Gamma: 探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Sloane, N. J. A. Sequence A077142 in "整数序列在线百科全书。"Titchmarsh, E. C. 黎曼 Zeta 函数理论，第二版。 New York: Clarendon Press, 1987.Voros, A. "谱函数、特殊函数和塞尔伯格 Zeta 函数。" Commun. Math. Phys. 110, 439-465, 1987.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

哈达玛乘积

请引用为

Weisstein, Eric W. “哈达玛乘积。” 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HadamardProduct.html

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