素数乘积

素数的乘积

(1)

其中 为第 个素数，被称为原始阶乘函数，类似于阶乘函数。它的对数与切比雪夫函数 密切相关。

所有素数的zeta 正则化乘积由下式给出

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(Muñoz Garcia 和 Pérez-Marco 2003, 2008)，回答了 Soulé等人 (1992, p. 101) 提出的问题。推导过程通过素数 zeta 函数的代数运算得出，并给出了更一般的结果

(4)

和

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(Muñoz Garcia 和 Pérez-Marco 2003)。

梅尔滕斯定理指出

(6)

其中 是欧拉-马歇罗尼常数，一个密切相关的结果由下式给出

(7)

存在令人惊叹的素数无穷乘积公式，由下式给出

(8)

(Ramanujan 1913-1914; Le Lionnais 1983, p. 46) 和

(9)

(OEIS A082020; Ramanujan 1913-1914)。

更一般的公式由下式给出

(10)

其中 是黎曼 zeta 函数，并通过欧拉乘积

(11)

命名的素数乘积包括 Barban's 常数

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(OEIS A175640), Feller-Tornier 常数

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(OEIS A065493), Heath-Brown-Moroz 常数

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(OEIS A118228), Murata's 常数

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(OEIS A065485), 二次类数常数

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(OEIS A065465), Sarnak's 常数

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(OEIS A065476), 和 Taniguchi's 常数

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(OEIS A175639), 其中乘积是对素数 取的。

定义数论特征 为

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则

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(OEIS A060294; Oakes 2003)。类似地，

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(Oakes 2004)。这等价于欧拉的公式

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(Blatner 1997)。

设 为连续数 的数量，其中 使得 和 都是无平方数。则 的渐近线由下式给出

(37)

(OEIS A065474), 其中 是第 个素数。